Tính giá trị biểu thức:
E = (x-1)(x2+x+1) -(x-2)(x2+2x+4)+2(x2-4x+4) tại x= 102
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
(*)Ta cần CM bất đẳng thức phụ: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Thật vậy: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}< =>\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}< =>\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(< =>x^2+2xy+y^2-4xy\ge0< =>x^2-2xy+y^2\ge0< =>\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra <=> x=y
Do a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên hiển nhiên a > 0; b > 0;c > 0;a+b > 0;b+c-a > 0;c+a-b > 0
Áp dụng bất đẳng thức phụ ta có:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên,ta có:
\(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=>\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\left(đpcm\right)\)
\(E=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)+2\left(x^2-4x+4\right)\)
\(=x^3-x^2+x^2-x+x-1-x^3+2x^2-2x^2+4x-4x+8+2x^2-8x+8\)
\(=2x^2-8x+15\)
Thay x= 102 vào E, ta được:
\(2\cdot102^2-8\cdot102+15=2\cdot102\left(102-4\right)+15=204\cdot98+15=19992+15=20007\)
Từ \(a+b+c=0=>a+b=-c=>\left(a+b\right)^2=\left(-c\right)^2=>a^2+2ab+b^2=c^2\)
\(=>a^2+2ab+b^2-c^2=0=>a^2+b^2-c^2=-2ab\)
\(=>\left(a^2+b^2-c^2\right)^2=\left(-2ab\right)^2=>a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2=4a^2b^2\)
\(=>a^4+b^4+c^4=4a^2b^2-\left(2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2\right)=2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2\)
\(=>2\left(a^4+b^4+c^4\right)=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2a^2c^2\)
\(=>2\left(a^4+b^4+c^4\right)=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=1^2=1=>a^4+b^4+c^4=\frac{1}{2}\)
\(p=12\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)
\(p=\frac{1}{2}\left(5^2-1\right)\left(5^2+1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)
\(p=\frac{1}{2}\left(5^4-1\right)\left(5^4+1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)
\(p=\frac{1}{2}\left(5^8-1\right)\left(5^8+1\right)\left(5^{16}+1\right)\)
\(p=\frac{1}{2}\left(5^{16}-1\right)\left(5^{16}+1\right)\)
\(p=\frac{1}{2}\left(5^{32}-1\right)=\frac{5^{32}-1}{2}\)
1) a thỏa mãn: a2 + a + 1 = 0, rõ ràng a khác 0. Chia cả 2 vế cho a ta được: \(a+\frac{1}{a}=-1\)
2) Từ: \(x^2+x^2y^2-2y=0\Rightarrow x^2\left(y^2+1\right)=2y\Rightarrow x^2=\frac{2y}{y^2+1}\)
Với mọi y thì: \(\left(y-1\right)^2\ge0\Leftrightarrow2y\le y^2+1\Leftrightarrow\frac{2y}{y^2+1}\le1\)Do đó \(x^2=\frac{2y}{y^2+1}\le1\Rightarrow-1\le x\le1\)(1)
Mặt khác: \(x^3+2y^2-4y+3=0\Leftrightarrow x^3+1+2\left(y-1\right)^2=0\)(2)
Từ (1) => \(x^3+1\ge0\forall x\Rightarrow VT\left(2\right)\ge VP\left(2\right)\forall x;y\)
Để TM (2) thì dấu "=" xảy ra, khi đó x = -1; y = 1
và suy ra \(Q=x^2+y^2=2\)
= (3x + 1 - x - 1)(3x + 1 + x + 1)
= 2x(4x + 2)
Em áp dụng hđt số 3 trong sgk nhé.
\(=x^2+2\cdot x\cdot2y+\left(2y\right)^2=\left(x+2y\right)^2\)
vân toc cano là v ta có;
4(v + 2) = 5(v-2)
v = 18km/h
S = 4(v+2) = 80km
gọi quãng đường AB là x
ta kẻ bảng sau :
s(km) | t(h) | v(km/h) | |
xuôi | x | 4 | x/4 |
ngược | x | 5 | x/5 |
vì vận tốc dòng nước chảy là 2 km/h ta có pt:
x/4 - 2 = x/5 + 2
<=> 5x - 40 = 4x + 40
<=> 5x - 4x = 40 + 40
<=> x = 80
vậy quãng đường AB dài 80 km
\(E=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)-\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)+2\left(x^2-4x+4\right)\)
\(=x^3-1-\left(x^3-2^3\right)+2\left(x^2-2.x.2+2^2\right)\)
\(=x^3-1-x^3+8+2\left(x-2\right)^2=102^3-1-102^3+8+2\left(102-2\right)^2=20007\)