Bài giải

biến đổi sẵn luôn rồi

\(M=1-\frac{1}{\left(n-1\right)^2}\)

\(M=\frac{n^2-2n+1-1}{\left(n-1\right)^2}\)

\(M=\frac{n\left(n-2\right)}{\left(n-1\right)^2}\)

Bạn tham khảo cách này nhá

Ta có : \(\frac{1}{2^2}< \frac{1}{1.2}\)

            \(\frac{1}{3^2}< \frac{1}{2.3}\)

              .................

              \(\frac{1}{100^2}< \frac{1}{99.100}\)

Nên : \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+......+\frac{1}{100^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+.....+\frac{1}{99.100}\)

=> \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+......+\frac{1}{100^2}< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+....+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

=> \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+......+\frac{1}{100^2}< 1-\frac{1}{100}< 1\) (đpcm)

\(C=\frac{7^2}{2.9}+\frac{7^2}{9.16}+\frac{7^2}{16.23}+...+\frac{7^2}{65.72}\)

\(C=\frac{7^2}{7}.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}-\frac{1}{23}+...+\frac{1}{65}-\frac{1}{72}\right)\)

\(C=7.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{72}\right)\)

\(C=7.\frac{35}{72}=\frac{245}{72}\)

Ta có : \(C=\frac{7^2}{2.9}+\frac{7^2}{9.16}+\frac{7^2}{16.23}+.....+\frac{7^2}{65.72}\)

\(\Rightarrow C=7\left(\frac{7}{2.9}+\frac{7}{9.16}+\frac{7}{16.23}+.....+\frac{7}{65.72}\right)\)

\(\Rightarrow C=7\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{16}+.....+\frac{1}{65}-\frac{1}{72}\right)\)

\(\Rightarrow C=7\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{72}\right)\)

\(\Rightarrow C=7.\frac{35}{72}=\frac{245}{72}\)

\(B=\frac{4}{3.7}+\frac{4}{7.11}+\frac{4}{11.15}+...+\frac{4}{95.99}\)

\(B=\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}-\frac{1}{15}+...+\frac{1}{95}-\frac{1}{99}\)

\(B=\frac{1}{3}-\frac{1}{99}=\frac{33}{99}-\frac{1}{99}=\frac{32}{99}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(B=\frac{32}{99}\)

Ta có : \(\frac{4}{3.7}+\frac{4}{7.11}+\frac{4}{11.15}+.....+\frac{4}{95.99}\)

\(=\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{11}+.....+\frac{1}{95}-\frac{1}{99}\)

\(=\frac{1}{3}-\frac{1}{99}\)

\(=\frac{32}{99}\)

Ta có công thức :

\(\frac{1}{k\left(k+1\right)}=\frac{\left(k+1\right)-k}{k\left(k+1\right)}=\frac{k+1}{k\left(k+1\right)}-\frac{k}{k\left(k+1\right)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\)

\(\Rightarrow A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+.....+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

\(=1-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}\)

\(A=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right).n}\)

\(A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)}-\frac{1}{n}\)

\(A=1-\frac{1}{n}=\frac{n}{n}-\frac{1}{n}=\frac{n-1}{n}\)

ta thấy từ 1 đến 99 có: 9+20.9=189(chữ số),theo đầu bài ta còn thiếu số các chữ số của dãy là: 673-189=484 chữ số, như vậy chữ số thứ 673 phải nằm trong dãy các số có 3 chữ số .

Vậy ta xét tiếp:

từ 100 đến 260 có: 3.161=483 chữ số

như vậy từ 1 đến 260 đã có : 

189+483=672 (chữ số)

theo đầu bài thì chữ số thứ 673 sẽ là chữ số 2 của số 261

Ta có : 1³ + 2³ + 3³ +..... + n³ 

= 1 + 1.2.3 + 2 + 2.3.4 + 3 + ..... + n(n + 1)(n + 2) + n

= (1 + 2 + 3 + ..... + n) + (1.2.3 + 2.3.4 + ..... + n(n + 1)(n + 2)

= \(\frac{n\left(n+1\right)}{2}+\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}=\frac{2.n\left(n+1\right)}{4}+\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}\)

= \(\frac{3n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}\)

Viết lại bài toán cần chứng minh
13+23+33+..n3=(1+2+3+...+n)213+23+33+..n3=(1+2+3+...+n)2
Với n=1;n=2n=1;n=2 thì đẳng thức hiển nhiên đúng, hay chính là câu a,b đó 
Giả sử đẳng thức đúng với n=kn=k
Tức 13+23+33+...k3=(1+2+3+4..+k)213+23+33+...k3=(1+2+3+4..+k)2
Ta sẽ chứng minh nó đúng với n=k+1n=k+1
Viết lại đẳng thức cần chứng minh 13+23+33+...k3+(k+1)3=(1+2+3+4..+k+k+1)213+23+33+...k3+(k+1)3=(1+2+3+4..+k+k+1)2 (*)
Mặt khác ta có công thức tính tổng sau 1+2+3+4+...+n=n(n+1)21+2+3+4+...+n=n(n+1)2
⇒(1+2+3+4+...+n)2=(n2+n)24⇒(1+2+3+4+...+n)2=(n2+n)24
Vậy viết lại đẳng thức cần chứng minh
(k2+k)24+(k+1)3=(k2+3k+2)24(k2+k)24+(k+1)3=(k2+3k+2)24
⇔(k2+3k+2)2−(k2+k)2=4(k+1)3⇔(k2+3k+2)2−(k2+k)2=4(k+1)3
Bằng biện pháp "nhân tung tóe", đẳng thức cần chứng minh tuơng đuơng
⇔4k3+12k2+12k+4=4(k+1)3⇔4k3+12k2+12k+4=4(k+1)3
⇔4(k+1)3=4(k+1)3⇔4(k+1)3=4(k+1)3 ~

Ta có : 1² + 2² + 3² + ..... + n²

= 1.1 + 2.2 + 3.3 + .... + n.n

= 1.(2 - 1) + 2(3 - 1) + 3(4 - 1) + ..... + n(n + 1 - 1)

= 1.2 - 1 + 2.3 - 2 + 3.4 - 3 + .... + n(n + 1) - n

= (1.2 + 2.3 + 3.4 + ..... + n(n + 1) - (1 + 2 + 3 + ..... + n)