câu hỏi đâu bạn

bouty hunter

 Trước tiên ta có một bổ đề sau:

 Bổ đề: Cho 2 số \(a,b\) sao cho cả \(a,b\) đều viết được dưới dạng tổng của 4 số chính phương. Khi đó tích \(p=ab\) cũng có thể biểu diễn được thành tổng của 4 số chính phương.

 \(\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2\right)\)

 \(=\left(a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3-a_4b_4\right)^2+\left(a_1b_2+a_2b_1+a_3b_4-a_4b_3\right)^2\) \(+\left(a_1b_3-a_2b_4+a_3b_1+a_4b_2\right)^2+\left(a_1b_4+a_2b_3-a_3b_2+a_4b_1\right)^2\)

 Chứng minh thì bạn khai triển ra thôi.

 Ta thấy \(0=0^2+0^2+0^2+0^2\)

 \(1=0^2+0^2+0^2+1^2\)

 \(2=0^2+0^2+1^2+1^2\)

 Từ bổ đề trên, ta thấy chỉ cần chứng minh khẳng định đúng với số nguyên tố lẻ \(p\) thì coi như bài toán hoàn tất.

 (Vì mọi số tự nhiên đều có thể viết được dưới dạng \(2^n.t\) với \(t\) lẻ)

 Ta có số dư của \(a^2\) khi chia cho \(p\) luôn phân biệt khi cho \(a\) chạy từ \(0\) đến \(\dfrac{p-1}{2}\). Thật vậy, chọn \(a\) bất kì và đặt \(c=a^2modp\) \(\Rightarrow a\) là nghiệm của đa thức \(x^2-c\) trên trường \(Z/pZ\). Tương tự với \(p-a\left(\ne a\right)\). Ta biết rằng trong một trường \(K\), bất kì đa thức bậc \(n\) nào cũng chỉ có tối đa \(n\) nghiệm. Vì vậy không còn \(a\) nào khác là nghiệm của \(x^2-c\) nữa. Điều này có nghĩa là với mỗi số \(i\) trong tập hợp \(\left\{0,1,...,\dfrac{p-1}{2}\right\}\) thì tồn tại duy nhất \(a\) để \(a^2\equiv i\left[p\right]\)

 Tương tự, khi \(b\) chạy từ tập \(\left\{0,1,...,\dfrac{p-1}{2}\right\}\) thì \(-b^2-1\) phân biệt. Áp dụng nguyên lí Dirichlet, tồn tại \(a,b\) sao cho \(a^2\equiv-b^2-1\left[p\right]\) \(\Leftrightarrow a^2+b^2+1^2+0^2=np\) với \(n\inℕ\)

 Gọi \(m\) là số tự nhiên nhỏ nhất để \(mp\) là tổng của 4 số chính phương, \(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\). Ta chứng minh bằng phản chứng rằng \(m=1\) . Giả sử \(m\ne1\). Ta sẽ chỉ ra mâu thuẫn bằng việc chứng minh tồn tại một số tự nhiên \(r< m\) mà \(rp\) là tổng của 4 số chính phương.

 Với mỗi \(x_i\) và \(y_i\) có cùng số dư khi chia cho \(m\) và nằm giữa \(\dfrac{-m+1}{2}\) và \(\dfrac{m}{2}\), ta có \(y_1^2+y_2^2+y_3^2+y_4^2=mr\), với \(0< r< m\)

 Áp dụng bổ đề, ta có \(mpmr=z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2\). Vì \(x_i\equiv y_i\left[m\right]\) nên \(z_i⋮m\). Thật vậy:

 \(z_1=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4\) \(\equiv x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2\) \(\equiv mp\equiv0\left[m\right]\)

\(z_2=x_1y_2-x_2y_1+x_3y_4-x_4y_3\equiv x_1x_2-x_2x_1+x_3x_4-x_4x_3\equiv0\left[m\right]\)

 Bằng cách tương tự chứng minh được \(z_3,z_4⋮m\)

 Vậy với \(w_i=\dfrac{z_i}{m}\) thì \(w_1^2+w_2^2+w_3^2+w_4^2=rp\), điều này mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của \(m\).

 (Ta loại TH \(y_1=y_2=y_3=y_4=\dfrac{m}{2}\), khi đó \(r=m\); và TH \(y_1=y_2=y_3=y_4=0\), khi đó \(r=0\) vì cả 2 TH này đều cho ra \(mp=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2⋮m^2\), vô lí vì \(p\) là số nguyên tố lớn hơn \(m\))

 Do vậy điều giả sử là sai \(\Rightarrow\) đpcm.

jdjsiajdnxnfjaooMxncnfjaisnndnsndn

TỐNG BIỆT HÀNH

Đưa người, ta không đưa qua sông,

Sao có tiếng sóng ở trong lòng?

Bóng chiều không thắm, không vàng vọt,

Sao đầy hoàng hôn trong mắt trong?

Đưa người ta chỉ đưa người ấy

Một giã gia đình, một dửng dưng...

- Li khách! Li khách! Con đường nhỏ,

Chí nhớn chưa về bàn tay không,

Thì không bao giờ nói trở lại!

Ba năm mẹ già cũng đừng mong!

*

Ta biết người buồn chiều hôm trước:

Bây giờ mùa hạ sen nở nốt,

Một chị, hai chị cũng như sen

Khuyên nốt em trai dòng lệ sót.

Ta biết người buồn sáng hôm nay:

Giời chưa mùa thu, tươi lắm thay,

Em nhỏ ngây thơ đôi mắt biếc

Gói tròn thương tiếc chiếc khăn tay...

Người đi? Ừ nhỉ, người đi thực!

Mẹ thà coi như chiếc lá bay,

Chị thà coi như là hạt bụi,

Em thà coi như hơi rượu say.

(Hoài Thanh – Hoài Chân, Thi nhân Việt Nam (1932 – 1941), NXB Văn học, Hà Nội, 2007, tr. 280 – 281)

*Giới thiệu: Thâm Tâm (1917 – 1950), tên khai sinh là Nguyễn Tuấn Trình, sinh tại thị xã Hải Dương (nay là thành phố Hải Dương), tỉnh Hải Dương, là một trong những gương mặt của phong trào Thơ mới 1932 – 1945. Ông nổi tiếng với bài thơ “Tống biệt hành”.

(2.0 điểm)

Viết đoạn văn nghị luận (khoảng 200 chữ) nêu cảm nhận về hình tượng “li khách” trong bài thơ “Tống biệt hành” (Thâm Tâm).

TỐNG BIỆT HÀNH

Đưa người, ta không đưa qua sông,

Sao có tiếng sóng ở trong lòng?

Bóng chiều không thắm, không vàng vọt,

Sao đầy hoàng hôn trong mắt trong?

Đưa người ta chỉ đưa người ấy

Một giã gia đình, một dửng dưng...

- Li khách! Li khách! Con đường nhỏ,

Chí nhớn chưa về bàn tay không,

Thì không bao giờ nói trở lại!

Ba năm mẹ già cũng đừng mong!

“Tống biệt hành” là một bài thơ trữ tình nhưng lại có nhiều nhân vật: người tiễn đưa, li khách cùng với mẹ, hai người chị và em nhỏ của li khách. Trong đó, hai nhân vật quan trọng xuyên suốt cả bài thơ là người tiễn đưa - “ta” và li khách - “người”. Li khách là nhân vật trung tâm của tác phẩm. Mọi ý tưởng và cảm xúc, kể cả cách tổ chức lời thơ, kết cấu tác phẩm đều liên quan mật thiết đến nhân vật này.

Về hình tượng người tiễn đưa đã có hai cách hiểu. Cách hiểu thứ nhất, cách hiểu khá phổ biến: tác giả trong vai một người bạn đang tiễn bạn mình đi xa. Giữa họ có một tình bạn rất tri kỉ. Cách xưng hô “ta” - “người”, thân thiết nhưng vẫn thể hiện sự tôn trọng. Đồng thời nó cũng làm hiện lên tư thế của những trang nam nhi mang chí lớn.

TỐNG BIỆT HÀNH

Đưa người, ta không đưa qua sông,

Sao có tiếng sóng ở trong lòng?

Bóng chiều không thắm, không vàng vọt,

Sao đầy hoàng hôn trong mắt trong?

Đưa người ta chỉ đưa người ấy

Một giã gia đình, một dửng dưng...

- Li khách! Li khách! Con đường nhỏ,

Chí nhớn chưa về bàn tay không,

Thì không bao giờ nói trở lại!

Ba năm mẹ già cũng đừng mong!

Ta biết người buồn chiều hôm trước:

Bây giờ mùa hạ sen nở nốt,

Một chị, hai chị cũng như sen

Khuyên nốt em trai dòng lệ sót.

Ta biết người buồn sáng hôm nay:

Giời chưa mùa thu, tươi lắm thay,

Em nhỏ ngây thơ đôi mắt biếc

Gói tròn thương tiếc chiếc khăn tay...

Người đi? Ừ nhỉ, người đi thực!

Mẹ thà coi như chiếc lá bay,

Chị thà coi như là hạt bụi,

Em thà coi như hơi rượu say.

(Hoài Thanh – Hoài Chân, Thi nhân Việt Nam (1932 – 1941), NXB Văn học, Hà Nội, 2007, tr. 280 – 281)

*Giới thiệu: Thâm Tâm (1917 – 1950), tên khai sinh là Nguyễn Tuấn Trình, sinh tại thị xã Hải Dương (nay là thành phố Hải Dương), tỉnh Hải Dương, là một trong những gương mặt của phong trào Thơ mới 1932 – 1945. Ông nổi tiếng với bài thơ “Tống biệt hành”.

(1.0 điểm)

Qua văn bản, hãy nêu một thông điệp anh/chị thấy có ý nghĩa nhất đối với cuộc sống và giải thích lí do.

TỐNG BIỆT HÀNH

Đưa người, ta không đưa qua sông,

Sao có tiếng sóng ở trong lòng?

Bóng chiều không thắm, không vàng vọt,

Sao đầy hoàng hôn trong mắt trong?

Đưa người ta chỉ đưa người ấy

Một giã gia đình, một dửng dưng...

- Li khách! Li khách! Con đường nhỏ,

Chí nhớn chưa về bàn tay không,

Thì không bao giờ nói trở lại!

Ba năm mẹ già cũng đừng mong!

*

Ta biết người buồn chiều hôm trước:

Bây giờ mùa hạ sen nở nốt,

Một chị, hai chị cũng như sen

Khuyên nốt em trai dòng lệ sót.

Ta biết người buồn sáng hôm nay:

Giời chưa mùa thu, tươi lắm thay,

Em nhỏ ngây thơ đôi mắt biếc

Gói tròn thương tiếc chiếc khăn tay...

Người đi? Ừ nhỉ, người đi thực!

Mẹ thà coi như chiếc lá bay,

Chị thà coi như là hạt bụi,

Em thà coi như hơi rượu say.

(Hoài Thanh – Hoài Chân, Thi nhân Việt Nam (1932 – 1941), NXB Văn học, Hà Nội, 2007, tr. 280 – 281)

*Giới thiệu: Thâm Tâm (1917 – 1950), tên khai sinh là Nguyễn Tuấn Trình, sinh tại thị xã Hải Dương (nay là thành phố Hải Dương), tỉnh Hải Dương, là một trong những gương mặt của phong trào Thơ mới 1932 – 1945. Ông nổi tiếng với bài thơ “Tống biệt hành”.

(2.0 điểm)

Viết đoạn văn nghị luận (khoảng 200 chữ) nêu cảm nhận về hình tượng “li khách” trong bài thơ “Tống biệt hành” (Thâm Tâm).

TỐNG BIỆT HÀNH

Đưa người, ta không đưa qua sông,

Sao có tiếng sóng ở trong lòng?

Bóng chiều không thắm, không vàng vọt,

Sao đầy hoàng hôn trong mắt trong?

Đưa người ta chỉ đưa người ấy

Một giã gia đình, một dửng dưng...

- Li khách! Li khách! Con đường nhỏ,

Chí nhớn chưa về bàn tay không,

Thì không bao giờ nói trở lại!

Ba năm mẹ già cũng đừng mong!