Bạn xem lại đề. Kết quả ra $m$ khá xấu, không phù hợp với bài toán PT bậc 2 cơ bản.

Bạn nên viết lại đề cho rõ ràng để mọi người đọc hiểu và hỗ trợ nhanh hơn nhé.

Lời giải:
\(P=\frac{x+7\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}}=\frac{x+2\sqrt{x}+5\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}}=1+\frac{5\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}}=1+\frac{5}{\sqrt{x}+2}\)

Với $x$ là số nguyên không âm, để $P$ nguyên thì $\sqrt{x}+2$ là ước của 5.

Mà $\sqrt{x}+2\geq 2$ với mọi $x$ nguyên không âm

$\Rightarrow \sqrt{x}+2=5$

$\Rightarrow \sqrt{x}=3$

$\Rightarrow x=9$ (tm)

\(\left\{{}\begin{matrix}8x-y=6\\x^2-y=-6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}8x-y-x^2+y=6+6\\8x-y=6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-8x=-12\\y=8x-6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-8x+12=0\\y=8x-6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)\left(x-6\right)=0\\y=8x-6\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\in\left\{2;6\right\}\\y=8x-6\end{matrix}\right.\)

Khi x=2 thì \(y=8\cdot2-6=16-6=10\)
Khi x=6 thì \(y=8\cdot6-6=42\)

Thông thường thì hai nghiệm phải có quan hệ với nhau, sao biểu thức trong căn chỉ chứa \(x_1\) vậy em?

Lời giải:

$\Delta' (*) = 4^2-8(m^2+1)=8-8m^2$

Để pt có 2 nghiệm $x_1,x_2$ thì:

$\Delta'(*) = 8-8m^2\geq 0\Leftrightarrow 1-m^2\geq 0$

$\Leftrightarrow -1\leq m\leq 1$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=1$

$x_1x_2=\frac{m^2+1}{8}$
Khi đó:

$x_1^4-x_2^4=x_1^3-x_2^3$
$\Leftrightarrow (x_1^2-x_2^2)(x_1^2+x_2^2)=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)$

$\Leftrightarrow (x_1-x_2)[(x_1+x_2)(x_1^2+x_2^2)-(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)]=0$

$\Leftrightarrow (x_1-x_2)[1(x_1^2+x_2^2)-(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)]=0$

$\Leftrightarrow (x_1-x_2)(-x_1x_2)=0$

$\Leftrightarrow (x_1-x_2).\frac{-(m^2+1)}{8}=0$

$\Leftrightarrow x_1-x_2=0$ (do $m^2+1\geq 1>0$ với mọi $m$ nên số này khác 0)

$\Leftrightarrow x_1=x_2$
Kết hợp $x_1+x_2=1$

$\Rightarrow x_1=x_2=\frac{1}{2}$

$\frac{m^2+1}{8}=x_1x_2=\frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow m^2+1=2$

$\Leftrightarrow m^2=1\Leftrightarrow m=\pm 1$ (tm)

Lời giải:

$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{18^2+24^2}=30$ (cm) - áp dụng định lý Pitago.

Nửa chu vi tam giác: $p=(AB+BC+AC):2=(18+24+30):2=36$ (cm) 

Diện tích: $S=AB.AC:2=18.24:2=216$ (cm²)

Áp dụng công thức:
$S=pr$ với $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

$r=\frac{S}{p}=\frac{216}{36}=6$ (cm)

Bài 1:

1: Thay x=2025 vào A, ta được:

\(A=\dfrac{2025+5}{\sqrt{2025}-2}=\dfrac{2030}{43}\)

2: \(B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{2}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{4\sqrt{x}}{x-4}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{2}{\sqrt{x}+2}-\dfrac{4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)-2\left(\sqrt{x}-2\right)-4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{x+2\sqrt{x}-2\sqrt{x}+4-4\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(=\dfrac{x-4\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\)

3: \(P=A\cdot B=\dfrac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}\cdot\dfrac{x+5}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{x+5}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\dfrac{x-4+9}{\sqrt{x}+2}=\sqrt{x}-2+\dfrac{9}{\sqrt{x}+2}\)

\(=\sqrt{x}+2+\dfrac{9}{\sqrt{x}+2}-4>=2\cdot\sqrt{\left(\sqrt{x}+2\right)\cdot\dfrac{9}{\sqrt{x}+2}}-4=2\)

Dấu '=' xảy ra khi \(\sqrt{x}+2=\sqrt{9}=3\)

=>x=1(nhận)

Bài 3:

1: Khi m=-2 thì phương trình sẽ trở thành:

\(x^2+2\cdot\left(-2\right)\cdot x-2-3=0\)

=>\(x^2-4x-5=0\)

=>(x-5)(x+1)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=5\\x=-1\end{matrix}\right.\)

2: \(\text{Δ}=\left(2m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m-3\right)\)

\(=4m^2-4m+12=4m^2-4m+1+11=\left(2m-1\right)^2+11>0\forall m\)

=>Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=-2m\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m-3\end{matrix}\right.\)

\(x_1^2+x_1x_2-2x_2^2=3\left(x_1-x_2\right)\)

=>\(x_1^2+2x_1x_2-x_1x_2-2x_2^2=3\left(x_1-x_2\right)\)

=>\(x_1\left(x_1+2x_2\right)-x_2\left(x_1+2x_2\right)-3\left(x_1-x_2\right)=0\)

=>\(\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+2x_2-3\right)=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x_1=x_2\\x_1+2x_2=3\end{matrix}\right.\)

TH1: \(x_1=x_2\)

mà \(x_1+x_2=-2m\)

nên \(x_1=x_2=-m\)

\(x_1x_2=m-3\)

=>\(\left(-m\right)\cdot\left(-m\right)=m-3\)

=>\(m^2-m+3=0\)

=>\(\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}=0\)(vô lý)

TH2: \(x_1+2x_2=3\)

mà \(x_1+x_2=-2m\)

nên \(x_2=3-\left(-2m\right)=2m+3\)

=>\(x_1=-2m-x_2=-2m-\left(2m+3\right)=-4m-3\)

\(x_1x_2=m-3\)

=>\(\left(2m+3\right)\left(-4m-3\right)=m-3\)

=>\(-8m^2-6m-12m-9=m-3\)

=>\(-8m^2-18m-9-m+3=0\)

=>\(-8m^2-19m-6=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}m=-\dfrac{3}{8}\\m=-2\end{matrix}\right.\)