A B C D Q M O

a/ Xét \(\Delta OAC\) có

OA=OC=AC=R =>\(\Delta OAC\) là tg đều

b/ Gọi I là giao của CD với AB

\(AB\perp CD\Rightarrow IC=ID\) (trong đường tròn đường kính vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung) (1)

\(CD\perp AB\) => CD là đường cao của tg OAC => CD là trung tuyến của tg OAC (trong tg cân đường cao xp từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến) => IA=IO (2)

Từ (1) và (2) => ACOD là hình bình hành (Tứ giác có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hbh)

\(CD\perp AB\Rightarrow CD\perp AO\)

=> ACOD là hình thoi (Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi)

c/

Ta có

\(IA=IO\Rightarrow IO=\frac{OA}{2}=\frac{R}{2}\)

Xét tg vuông COI có \(IC=\sqrt{OC^2-IO^2}=\sqrt{R^2-\frac{R^2}{4}}=\frac{R\sqrt{3}}{2}\)

\(BI=OB+IO=R+\frac{R}{2}=\frac{3R}{2}\)

Xét tg vuông IBC có \(BC=\sqrt{BI^2+IC^2}=\sqrt{\frac{9R^2}{4}+\frac{3R^2}{4}}=R\sqrt{3}\)

d/

Ta có \(\widehat{ACB}=90^o\)(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow\widehat{BCQ}=90^o\)

=> C nhìn BQ dưới 1 góc vuông => C thuộc đường tròn đường kính BQ. Đây chính là đường tròn ngoại tiếp tg BCQ

Ta có \(\widehat{BCO}=\widehat{BCA}-\widehat{ACO}=90^o-60^o=30^o\)

\(sd\widehat{CAB}=\frac{1}{2}sd\) cung BC (góc nội tiếp đường tròn) (1)

\(sd\widehat{CBM}=\frac{1}{2}sd\)cung BC (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) (2)

Gọi M là tâm đường tròn ngoại tiếp tg BCQ => MQ=MB

Ta có MC = MQ = MB (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền)

=> tg MBC cân tại M \(\Rightarrow\widehat{BCM}=\widehat{CBM}\) (góc ở đáy tg cân) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{BCM}=\widehat{CAB}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{OCM}=\widehat{BCM}+\widehat{BCO}=60^o+30^o=90^o\Rightarrow OC\perp MC\)=> OC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tg BCQ

Gọi số sản phẩm mà đội 1, đội 2 phải làm theo kế hoạch lần lượt là \(x,y\left(x,y\inℕ^∗\right)\)

Theo kế hoạch, hai đội phải làm 300 sản phẩm nên ta có phương trình \(x+y=300\)(1)

Thực tế, đội 1 hoàn thành 110% kế hoạch nên số sản phẩm đội 1 làm được trong thực tế là \(110\%x=\frac{110}{100}x=\frac{11}{10}x\)

Còn đội 2 hoàn thành 120% kế hoạch nên số sản phẩm đội 2 làm được trong thực tế là \(120\%y=\frac{120}{100}y=\frac{12}{10}y\)

Do trong thực tế, cả 2 đội làm được 340 sản phẩm nên ta có phương trình \(\frac{11}{10}x+\frac{12}{10}y=340\)\(\Leftrightarrow11x+12y=3400\)(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}x+y=300\\11x+12y=3400\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=300-x\\11x+12\left(300-x\right)=3400\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}11x+3600-12x=3400\\y=300-x\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=200\\y=300-x\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=200\\y=100\end{cases}}\)(nhận)

Vậy theo kế hoạch, đội 1 phải làn 200sp còn đội 2 phải làm 100sp.

Điều kiện \(x,y\ge0\)

Ta có \(x-6\sqrt{xy}+13y-12\sqrt{y}+9=0\)

\(\Leftrightarrow x-6\sqrt{xy}+9y+4y-12\sqrt{y}+9=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}\right)^2-2\sqrt{x}.3\sqrt{y}+\left(3\sqrt{y}\right)^2+\left(2\sqrt{y}\right)^2-2.2\sqrt{y}.3+3^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-3\sqrt{y}\right)^2+\left(2\sqrt{y}-3\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}-3\sqrt{y}=0\\2\sqrt{y}-3=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}=3\sqrt{y}\\2\sqrt{y}=3\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=9y\\\sqrt{y}=\frac{3}{2}\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=9.\frac{9}{4}=\frac{81}{4}\\y=\frac{9}{4}\end{cases}}\)(nhận)

Vậy \(x=\frac{81}{4}\)và \(y=\frac{9}{4}\)

??? đề lỗi à

Chỉ có phân thức thôi.

P = \(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+1-4}{\sqrt{x}+1}=1-\frac{4}{\sqrt{x}+1}\)

Ta có \(\sqrt{x}\ge0\)\(\Leftrightarrow\sqrt{x}+1\ge1\)\(\Leftrightarrow\frac{4}{\sqrt{x}+1}\le4\)\(\Leftrightarrow-\frac{4}{\sqrt{x}+1}\ge-4\)

\(\Leftrightarrow1-\frac{4}{\sqrt{x}+1}\ge-3\)\(\Leftrightarrow P\ge-3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{x}=0\Leftrightarrow x=0\)

Vậy GTNN của P là -3 khi \(x=0\)

Đề bị sao kìa bạn?

Answer:

1.

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{2}x-\sqrt{3}y=-1\\\left(1+\sqrt{3}\right)x-\sqrt{2}y=\sqrt{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-\sqrt{6}y=\sqrt{2}\\\sqrt{3}\left(1+\sqrt{3}\right)x-\sqrt{6}y=\sqrt{6}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{3}+1\right)x=\sqrt{6}+\sqrt{2}\\y=\frac{\sqrt{2}x+1}{\sqrt{3}}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(\sqrt{3}+1\right)x=\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)\\y=\frac{\sqrt{2}x+1}{\sqrt{3}}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\sqrt{2}\\y=\sqrt{3}\end{cases}}\)

\(\hept{\begin{cases}4x-3y=-10\\\frac{x}{2}+\frac{5y}{4}=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x-3y=-10\\2x+5y=8\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x-3y=-10\\4x+10y=16\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}13y=26\\4x+10y=16\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2\\x=-1\end{cases}}\)

2.

\(\hept{\begin{cases}2x-3=0\\ax+\left(a-1\right)=\frac{3}{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2}\\ax+\left(a-1\right)y=\frac{3}{2}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{2}\\\left(a-1\right)y=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}a\left(1\right)\end{cases}}\)

Hệ có nghiệm duy nhất chỉ khi phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi \(a-1\ne0\Leftrightarrow a\ne1\)

3.

7 giờ 12 phút = \(\frac{36}{5}\) giờ

Gọi x và y là thời gian để người thứ nhất và người thứ hai làm một mình xong công việc 

Một giờ người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc, một giờ người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) công việc

Có: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{5}{36}\\\frac{6}{x}+\frac{3}{y}=\frac{2}{3}\end{cases}}\)

Đặt \(n=\frac{1}{x};m=\frac{1}{y}\left(u;v>0\right)\)

Có:

\(\hept{\begin{cases}n+m=\frac{5}{36}\\6n+3m=\frac{2}{3}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3n+3m=\frac{15}{36}\\6n+3m=\frac{2}{3}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3n=\frac{1}{4}\\n+m=\frac{5}{36}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}n=\frac{1}{12}\\m=\frac{1}{18}\end{cases}}\)

\(\sqrt{x+y-4}+\sqrt{x-y+4}+\sqrt{-x+y+4}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\)

ĐKXĐ:

 \(x+y-4\ge0\rightarrow x+y\ge4\rightarrow x+y\ge4\)

\(x-y+4\ge0\rightarrow x-y\ge-4\rightarrow x-y\ge-4\)

\(-x+y+4\ge0\rightarrow-x+y\ge-4\rightarrow x-y\le4\)

\(x\ge0\)

\(y\ge0\)

Với \(a;b\ge0\) ta có:

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge a+b+2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a+b\right)\ge\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

\(\rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\le\sqrt{2\left(a+b\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b\)

Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+y-4}+\sqrt{x-y+4}\le\sqrt{2\left(x+y-4+x-y+4\right)}=2\sqrt{x}\\\sqrt{x+y-4}+\sqrt{-x+y+4}\le\sqrt{2[\left(x+y-4\right)+\left(-x+y+4\right)]}=2\sqrt{y}\\\sqrt{x-y+4}+\sqrt{-x+y+4}\le\sqrt{2[\left(x-y+4\right)+\left(-x+y+4\right)}=4\end{cases}}\)

\(\rightarrow2\sqrt{x+y-4}+2\sqrt{x-y+4}+2\sqrt{-x+y+4}\le2\sqrt{x}+2\sqrt{y}+4\)

\(\rightarrow\sqrt{x+y-4}+\sqrt{x-y+4}+\sqrt{-x+y+4}\le\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y-4=x-y+4\\x+y-4=-x+y+4\\x-y+4=-x+y+4\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=4\) (Thoả mãn)