( x + 3 )³ - 4( 9 + x³ ) - 24x = 0

⇔ x³ + 9x² + 27x + 27 - 36 - 4x³ - 24x = 0

⇔ -3x³ + 9x² + 3x - 9 = 0

⇔ -( 3x³ - 9x² ) + ( 3x - 9 ) = 0

⇔ -3x²( x - 3 ) + 3( x - 3 ) = 0

⇔ 3( x - 3 )( 1 - x² ) = 0

⇔ 3( x - 3 )( 1 - x )( 1 + x ) = 0

⇔ x = 3 hoặc x = ±1

Pt chùm parabol đỉnh A(1;-2) là (P) : y=m(x-1)²-2 \(\left(m\ne0\right)\)(1)

Pt hoành độ giao điểm của (P) và đường thẳng d là \(m\left(x-1\right)^2-2=x+1\Leftrightarrow mx^2-\left(2m+1\right)x+m-3=0\)(2)

Với \(0\ne m\ge\frac{-1}{16}\), pt (2) có 2 nghiệm phân biệt x₁,x₂, đó là hoành độ giao điểm M,N của (P) và đường thẳng d.

Từ (2) \(\Rightarrow\left(x_1-x_2\right)^2=\frac{\Delta}{m^2}\)với \(\Delta\)là biệt thức

M,N thuộc đường thẳng d nên \(y_1-y_2=x_1-x_2\)

\(\Rightarrow MN^2=2\frac{\Delta}{m^2}\). Do \(MN=\sqrt{34}\)NÊN \(\frac{2\Delta}{m^2}=34\)

\(\Rightarrow17m^2-16m-1=0\)có 2 nghiệm m=1 và \(m=\frac{-1}{17}\)đều thoả mãn \(0\ne m\ge\frac{-1}{16}\)

Thay các giá trị của m vừa tìm được vào (1), ta có 2 pt parabol cần tìm là:

\(\left(P_1\right):y=x^2-2x-1\)

\(\left(P_2\right):y=\frac{-1}{17}\left(x^2-2x-35\right)\)

Đặt \(\sqrt{x}=t\ge0\).

\(y=2t^2+t\)

Ta xét tính biến thiên của hàm số này với \(t\ge0\)suy ra tính biến thiên của hàm ban đầu. 

Không có số chính phương nào vì trong các thừa số của M đều có 7 xuất hiện duy nhất một lần.

Ví dụ: 7! = 1.2.3.4.5.6.7 thì thừa số 7 chỉ xuất hiện một lần nên 7! không là số chính phương.

tương tự như vậy cho các thừa số của M.

\(x=0\)không thỏa mãn phương trình. 

Suy ra \(x+x^2+x^3+...+x^{2012}=0\)trừ vế với vế với phương trình ban đầu được: 

\(x^{2012}-1=0\Leftrightarrow x=\pm1\)

Thử lại \(x=-1\)thỏa mãn. 

Các tập con gồm hai phần tử của A là: {a;b},{a;c},{b;a},{b;c},{c;b}

\(\Rightarrow\)Tập hợp A={a;b;c}A={a;b;c} có 5 tập hợp con gồm 2 phần tử.