giải pt
x\(\sqrt{y-1}\)+2y\(\sqrt{x-1}\)=\(\dfrac{3xy}{2}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C M N
Ta có A và N cùng nhìn MC dưới góc 90 độ
=> AMNC là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{BAN}=\widehat{BCM}\) (góc nội tiếp cùng chắn cungMN)
Xét tg ABN và tg CBM có
\(\widehat{BAN}=\widehat{BCM}\) (cmt)
\(\widehat{ABC}\) chung
=> tg ABN đồng dạng tg CBM (g.g.g)
\(\Rightarrow\dfrac{AN}{CM}=\dfrac{AB}{BC}\)
Xét tg vuông ABC
\(\sin\widehat{C}=\dfrac{AB}{BC}\)
\(\Rightarrow\sin\widehat{C}=\dfrac{AN}{CM}\) (đpcm)
1) \(tanB=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{15}{10}=1,5\)
\(\Rightarrow B=56^o\)
2) \(tan\left(\dfrac{B}{2}\right)=\dfrac{AI}{AB}\Rightarrow AI=AB.tan\left(\dfrac{B}{2}\right)\)
\(AI=10.tan\left(\dfrac{56}{2}\right)=10.0,5=5\left(cm\right)\)
3) \(BI^2=AI^2+AB^2\left(Pitago\right)\)
\(\Rightarrow BI^2=5^2+10^2=25+100=125\)
\(\Rightarrow BI=\sqrt[]{125}=\sqrt[]{25.5}=5\sqrt[]{5}\left(cm\right)\)
\(AH.BI=AI.AB\Rightarrow AH=\dfrac{AI.AB}{BI}=\dfrac{5.10}{5\sqrt[]{5}}=\dfrac{10}{\sqrt[]{5}}=2\sqrt[]{5}\left(cm\right)\)
\(tan\alpha=3\Rightarrow cot\alpha=\dfrac{1}{3}\left(tan\alpha.cot\alpha=1\right)\)
\(1+tan^2\alpha=\dfrac{1}{cos^2\alpha}\Rightarrow cos^2\alpha=\dfrac{1}{1+tan^2\alpha}=\dfrac{1}{1+9}=\dfrac{1}{10}\)
\(\Rightarrow cos^{ }\alpha=\dfrac{\sqrt[]{10}}{10}\)
\(tan\alpha=\dfrac{sin\alpha}{cos\alpha}\Rightarrow sin\alpha=tan\alpha.cos\alpha=\dfrac{3\sqrt[]{10}}{10}\)
O A M N
Xét tg vuông AMO và tg vuông ANO có
AO chung; OM=ON (bán kính (O))
=> tg AMO = tg ANO (Hai tg vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau)
\(\Rightarrow AM=AN\) (đpcm)
\(\Rightarrow\widehat{MAO}=\widehat{NAO}\) => AO là phân giác \(\widehat{MAN}\) (đpcm)
\(\Rightarrow\widehat{AOM}=\widehat{AON}\) => AO là phân giác \(\widehat{MON}\) (đpcm)
a) Với x = 9 ta có : \(A=\dfrac{2\sqrt{9}}{3+\sqrt{9}}=1\)
b) \(B=\left(\dfrac{15-\sqrt{x}}{x-25}+\dfrac{2}{\sqrt{x}+5}\right):\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-5}\)
\(=\dfrac{15-\sqrt{x}+2.\left(\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}+5\right).\left(\sqrt{x}-5\right)}:\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-5}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}-5}:\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-5}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+3}\) (đpcm)
c) \(P=A-6B=\dfrac{2\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}+3}\)
Có \(P< 0\Leftrightarrow2\sqrt{x}-6< 0\) (Vì \(\sqrt{x}+3>0\forall x\))
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}< 3\Leftrightarrow0\le x< 9\)
=> x = 8 là giá trị nguyên lớn nhất để P < 0
a) Để giải tam giác ABC, chúng ta cần biết thêm một thông tin khác về tam giác, ví dụ như độ dài cạnh AC hoặc giá trị của một góc trong tam giác. Với thông tin hiện tại, không đủ để giải tam giác ABC.
b) Từ công thức cotC = AB/BC, và AB = 5cm, ta có:
cotC = 5/BC = 1/3
Vậy, cotC = 1/3.
c) Từ định lý Pythagoras trong tam giác vuông, ta có:
AB^2 + BC^2 = AC^2
8^2 + 15^2 = AC^2
64 + 225 = AC^2
289 = AC^2
AC = √289
AC = 17 cm
Vậy, độ dài cạnh AC của tam giác ABC là 17cm
A B C O D E
a/
\(sđ\widehat{ACO}=\dfrac{1}{2}\left(sđcungAD-sđcungBE\right)\) (góc có đỉnh ngoài hình tròn)
\(\Rightarrow sđ\widehat{ACO}=\dfrac{1}{2}sđcungAD-\dfrac{1}{2}sđcungBE\) (1)
Ta có
\(sđ\widehat{AOD}=sđcungAD\) (Góc có đỉnh là tâm đường tròn)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}sđcungAD=\dfrac{1}{2}sđ\widehat{AOD}\) (2)
Ta có
BC = OB = R => tg BOC cân tại B \(\Rightarrow\widehat{ACO}=\widehat{BOE}\) (góc ở đáy tg cân)
\(sđ\widehat{BOE}=sđcungBE\) (Góc có đỉnh là tâm đường tròn)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}sđ\widehat{ACO}=\dfrac{1}{2}sđ\widehat{BOE}=\dfrac{1}{2}sđcungBE\) (3)
Thay (2) và (3) vào (1)
\(\Rightarrow sđ\widehat{ACO}=\dfrac{1}{2}sđ\widehat{AOD}-\dfrac{1}{2}sđ\widehat{ACO}\)
\(\Rightarrow2.sđ\widehat{ACO}=sđ\widehat{AOD}-sđ\widehat{ACO}\)
\(\Rightarrow sđ\widehat{AOD}=3.sđ\widehat{ACO}\)
b/
Ta có
AB = R = OA = OB => tg OAB là tg đều
\(\Rightarrow\widehat{OAB}=\widehat{OBA}=60^o\)
\(\Rightarrow\widehat{OBC}=180^o-\widehat{OBA}=180^o-60^o=120^o\)
Xét tg cân BOC có
\(\widehat{BCO}+\widehat{BOC}=180^o-\widehat{OBC}=180^o-120^o=60^o\)
Mà \(\widehat{BCO}=\widehat{BOC}\) (góc ở đáy tg cân)
\(\Rightarrow\widehat{BCO}=\widehat{BOC}=30^o\)
Xét tg AOC có
\(\widehat{AOC}=180^o-\left(\widehat{OAB}+\widehat{BOC}\right)=180^o-\left(60^o+30^o\right)=90^o\)
=> tg AOC vuông tại O
AC = AB + BC = 2R
\(\Rightarrow CO=\sqrt{AC^2-OA^2}=\sqrt{4R^2-R^2}=R\sqrt{3}\)
\(\sqrt{1+\dfrac{1}{ab}}=\sqrt{\dfrac{ab+1}{ab}}=\dfrac{\sqrt{ab\left(ab+1\right)}}{ab}=\dfrac{\sqrt{a^2b^2+ab}}{ab}\).
Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq 1; y\geq 1$
Áp dụng BĐT Cô-si:
$x\sqrt{y-1}=\sqrt{x^2(y-1)}=\sqrt{x(xy-x)}\leq \frac{x+(xy-x)}{2}=\frac{xy}{2}(1)$
$2y\sqrt{x-1}=2\sqrt{y^2(x-1)}=2\sqrt{y(xy-y)}\leq y+(xy-y)=xy(2)$
Từ $(1); (2)\Rightarrow x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}\leq \frac{xy}{2}+xy=\frac{3}{2}xy$
Dấu "=" xảy ra khi $x=xy-x$ và $y=xy-y$
$\Leftrightarrow 2x=xy=2y$
$\Leftrightarrow x=y=2$
ĐKXĐ : \(x\ge1;y\ge1\)
Ta có \(x\sqrt{y-1}+2y\sqrt{x-1}=\dfrac{3xy}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x\sqrt{y-1}+4y\sqrt{x-1}=3xy\)
\(\Leftrightarrow\left(2x\sqrt{y-1}-xy\right)+\left(4y\sqrt{x-1}-2xy\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(2\sqrt{y-1}-y\right)+2y\left(2\sqrt{x-1}-x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2\sqrt{y-1}+y}\left(4y-4-y^2\right)+\dfrac{2y}{2\sqrt{x-1}+x}\left(4x-4-x^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{2\sqrt{y-1}+y}\left(y-2\right)^2+\dfrac{2y}{2\sqrt{x-1}+x}\left(x-2\right)^2=0\) (1)
Dễ thấy \(\dfrac{x}{2\sqrt{y-1}+y}>0;\dfrac{y}{2\sqrt{x-1}+x}>0\forall x;y\ge1\)
nên (1) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\y-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=2\)
Vậy x = y = 2 là nghiệm phương trình