Gọi A₁; A₂; A₃; ...; A₁₁ là 11 số cần tìm và

S = A ₁ + A ₂ + ... + A ₁₁ ( với S \(\in\) Z)

Ta có:

A₁ = (S - A₁)² / S²

A₂ = (S - A₂)² / S²

....

A₁₁ = (S - A₁₁) / S²

Cộng các vế lại ta đc: \(\dfrac{S}{11.S^2}\)

Xét :

TH1: S \(\ne\) 0 \(\Rightarrow\) 11.S = 1

\(\Rightarrow\) S = \(\dfrac{1}{11}\) mà S \(\in\) Z (loại)

TH2: S = 0 \(\Rightarrow\) A₁ + A₂ + ...+ A₁₁ = 0

Mà : A₁ = (S - A₁)² / 0

A₂ = (S - A₂)² / 0

^.........

A₁₁ = (S - A₁₁)² / 0

\(\Rightarrow\) A₁ + A₂ + ... + A₁₁ / 0

thì A₁ = A₂ = A₃ = ... = A₁₁ = 0

Vậy 11 số cần tìm đều là 0 thì mỗi số bằng bình phương của tổng 10 số còn lại.

Chúc bn học tốt

tại sao A1 lại bằng ( S - A1)^2/S^2 , mình tưởng là A1=(S-A1)^2 thôi chứ

Cho mình làm lại :

Để phép chia hết thì \(xa-3x+b+2=0\)

Đặt \(x=0\Rightarrow b+2=0\)

\(\Rightarrow b=-2\)

Đặt \(x=1\Rightarrow a-3+2+\left(-2\right)=0\)

\(\Rightarrow a=3\)

Vậy ...

( ͡° ͜ʖ ͡°)

Để phép chia hết thì \(\left(a-3\right)x+\left(b+2\right)=xa-3x+b+2=0\)

Lời giải:

Dựa vào điều kiện đề bài, ta dự đoán điểm rơi xảy ra tại \(y=0, x=1\)

Như vậy, ta sẽ đi chứng minh \(A=x^2+y^2\leq 1\)

Thật vậy.

Xét hiệu:

\((x^3+y^3)-(x-y)(x^2+y^2)=x^3+y^3-(x^3+xy^2-x^2y-y^3)\)

\(=2y^3+x^2y-xy^2=y[2y^2+x(x-y)]\)

Vì \(x>0, y\geq 0\Rightarrow x-y=x^3+y^3>0\Rightarrow x>y\)

Từ \(x>y\geq 0\Rightarrow y[2y^2+x(x-y)]\geq 0\)

Do đó: \((x^3+y^3)-(x-y)(x^2+y^2)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (x^3+y^3)-(x^3+y^3)(x^2+y^2)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (x^3+y^3)[1-(x^2+y^2)]\geq 0\)

\(\Leftrightarrow 1-(x^2+y^2)\geq 0\Leftrightarrow A=x^2+y^2\leq 1\)

Vậy \(A_{\max}=1\)

Dấu bằng xảy ra khi \(y=0, x=1\)

cách đổi hình nền kiểu gì vậy ?

25 ban oi

???

M góp ý tí: Bác Akai Haruma muốn dùng cái cosi dạng engel thì trước hết phải chứng minh \(\dfrac{1}{1-2\left(ab+bc+ca\right)}>0\) đã nhé. Không thì không được dùng đâu.

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

\((a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)

\(\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 9abc\Leftrightarrow ab+bc+ac\geq 9abc\)

\(\Rightarrow \frac{1}{abc}\geq \frac{9}{ab+bc+ac}\)

\(\Rightarrow M\geq \frac{1}{1-2(ab+bc+ac)}+\frac{9}{ab+bc+ac}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{1-2(ab+bc+ac)}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}\geq \frac{9}{1-2(ab+bc+ac)+ab+bc+ac+ab+bc+ac}=9(1)\)

Theo hệ quả của BĐT Cauchy: \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow (a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)\Rightarrow ab+bc+ac\leq \frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow \frac{7}{ab+bc+ac}\geq 21(2)\)

Từ \((1); (2)\Rightarrow M\geq 9+21=30\) hay \(M_{\min}=30\)

Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

Áp dụng BĐT AM-GM dạng mẫu số được 

\(\frac{a^4}{b\left(b+c\right)}+\frac{b^4}{c\left(c+a\right)}+\frac{c^4}{a\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ac\right)}\)

Ta có : \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\) (dễ dàng chứng minh được)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\ge2\left(ab+bc+ac\right)\) và \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\left(ab+bc+ac\right)^2\)

Do vậy \(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ac\right)}\ge\frac{\left(ab+bc+ac\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\frac{ab+bc+ac}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c > 0

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+px+pr=0\left(1\right)\\x^2+qx+qr=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm là a, b. Phương trình (2) có 2 nghiệm là b, c.

Theo vi-et ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=-p\left(3\right)\\ab=pr\left(4\right)\\c+b=-q\left(5\right)\\cb=qr\left(6\right)\end{matrix}\right.\)

Rồi biến đổi tiếp đi b

Gọi a(km) là quãng đường AB(a>0)

Khi đó thời gian đi là \(\dfrac{a}{30}\left(h\right)\)

thời gian về là \(\dfrac{a}{20}\left(h\right)\)

Theo đề ta có pt:\(\dfrac{a}{30}+\dfrac{a}{20}+1=5\)

\(\Leftrightarrow a\left(\dfrac{1}{30}+\dfrac{1}{20}\right)=4\)

\(\Leftrightarrow a\cdot\dfrac{5}{60}=4\)

\(\Leftrightarrow a=48\left(tm\right)\)

Vậy quãng đường AB dài 48 km

Gọi quãng đương AB là x(km) (x>0)

Thời gian người đó đi từ A đến B là : \(\dfrac{x}{30}\) (h)

Thời gian người đó đi từ B về A là : \(\dfrac{x}{20}\left(h\right)\)

Vì thời gian cả đi,về và nghỉ là 5(h)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{30}+1+\dfrac{x}{20}=5\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x}{30}+\dfrac{x}{20}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4x}{120}+\dfrac{6x}{120}=\dfrac{4.120}{120}\)

\(\Leftrightarrow4x+6x=480\)

\(\Leftrightarrow10x=480\)

\(\Leftrightarrow x=48\) (t/m)\

Vậy quãng đương AB là 48 km

a)ĐK: a>0 b>0 nhé bạn đề thiếu

(a-b)²\(\ge\)0

<=>a²+b²\(\ge\)2ab

<=>a²+2ab+b²\(\ge\)4ab

<=>(a+b)²\(\ge\)4ab

<=>\(\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

<=>\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

Dấu "=" xảy ra <=> (a-b)²=0<=>a=b

=>A\(\ge\)\(\left(a+b\right)\dfrac{4}{a+b}=4\)(đpcm)

b)\(B=\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{a+c}{b}=\left(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\right)+\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)+\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức cosi x+y\(\ge\)2\(\sqrt{xy}\)cho 2 số dương x;y ta có:

\(\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ac}{ca}}=2\)

\(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\ge2\sqrt{\dfrac{bc}{cb}}=2\)

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{ab}{ba}}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{c}=\dfrac{c}{a}\\\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{b}\\\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{a}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)a=b=c

=>B\(\ge2+2+2=6\)(đpcm)

cảm ơn bạn nhìu lắm!! mình đang thật sự cần