Hình như bạn bị lỗi một chút. Để phải là: CM

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\sqrt{\frac{2abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq 2\)

Giải như sau:

Đặt \(\left ( \frac{a}{b+c},\frac{b}{c+a},\frac{c}{a+b} \right )=(x,y,z)\). Khi đó, ta thu được điều kiện sau:

\(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=1\Leftrightarrow xy+yz+xz+2xyz=1\)

Bài toán chuyển về CM \(x+y+z+\sqrt{2xyz}\geq 2\)\(\)

\(\Leftrightarrow x+y+z+\sqrt{1-(xy+yz+xz)}\geq 2\) \((\star)\)

Từ điều kiện $(1)$ , áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\left [ \frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1} \right ][x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)]\geq (x+y+z)^2\)

\(\Rightarrow x(x+1)+y(y+1)+z(z+1)\geq (x+y+z)^2\)

\(\Rightarrow x+y+z\geq 2(xy+yz+xz)\) $(1)$

Ta sẽ chứng minh \(2(xy+yz+xz)+\sqrt{1-(xy+yz+xz)}\geq 2\)$(2)$

Thật vậy:

Theo Am-Gm: \(1=xy+yz+xz+2xyz\leq xy+yz+xz+2\sqrt{\frac{(xy+yz+xz)^3}{27}}\)

Đặt \(\sqrt{\frac{xy+yz+xz}{3}}=t\). Ta có

\(1\leq 3t^2+2t^3\Leftrightarrow (t+1)^2(2t-1)\geq 0\Rightarrow t\geq\frac{1}{2}\)

Khi đó \((1)\Leftrightarrow 6t^2+\sqrt{1-3t^2}\geq 2\Leftrightarrow (2t-1)(2t+1)(3t^2-1)\leq0\)

Điều này luôn đúng do \(t\geq \frac{1}{2}\) và \(1>xy+yz+xz=3t^2\)

Do đó $(1)$ được CM.

Từ \((1),(2)\Rightarrow (\star)\) đúng, bài toán được hoàn thành.

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$, hay $a=b=c$

Chọn trục toạ độ như hình vẽ.

Vật ở VTCB lò xo bị nén \(\Delta \ell_0\)

Vật đang đứng yên ở VTCB, hợp lực tác dụng lên vật bằng 0

\(\Rightarrow \vec{P}+\vec{F_{dh}}+\vec{N}=\vec{0}\)

Chiếu lên trục toạ độ ta được: \(P.\sin 45^0-F_{dh}=0\)

\(\Rightarrow mg.\sin 45^0=k.\Delta \ell_0\)

\(\Rightarrow k=\dfrac{mg.\sin 45^0}{\Delta \ell_0}=\dfrac{0,2.10.\sin 45^0}{0,02}=50\sqrt 2(N/m)\)

Chọn C.

Bài 1)

Ta biết ĐKXĐ:

\(\left\{\begin{matrix}4-x^2\ge0\\x^4-16\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{matrix}4-x^2\ge0\\\left(x^2-4\right)\left(x^2+4\right)\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{\begin{matrix}4-x^2\ge0\\x^2-4\ge0\end{matrix}\right.\Rightarrow x^2-4=0\rightarrow x=\pm2\)

Mặt khác \(4x+1\geq 0\Rightarrow x=2\)

Thay vào PT ban đầu : \(\Rightarrow 3+|y-1|=-y+5\Leftrightarrow |y-1|=2-y\)

Xét TH \(y-1\geq 0\) và \(y-1<0\) ta thu được \(y=\frac{3}{2}\)

Thu được cặp nghiệm \((x,y)=\left (2,\frac{3}{2}\right)\)

Bài 2)

BĐT cần chứng minh tương đương với:

\(\sqrt{\frac{z(x-z)}{xy}}+\sqrt{\frac{z(y-z)}{xy}}\leq 1\Leftrightarrow A=\left(\sqrt{\frac{z(x-z)}{xy}}+\sqrt{\frac{z(y-z)}{xy}}\right)^2\leq 1\)

Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz kết hợp AM-GM:

\(A\leq \left ( \frac{z}{y}+\frac{z}{x} \right )\left ( \frac{x-z}{x}+\frac{y-z}{y} \right )=\left ( \frac{z}{x}+\frac{z}{y} \right )\left ( 2-\frac{z}{x}-\frac{z}{y} \right )\)

\(\leq \left ( \frac{\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+2-\frac{z}{x}-\frac{z}{y}}{2} \right )^2=1\)

Do đó ta có đpcm.

a) Chọn trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ trùng với A.

Chọn mốc thời gian lúc 7h.

b) PT chuyển động thẳng đều có dạng: \(x=x_0+v.t\)

+ Xe 1: \(x_0=0\); \(v=40(km/h)\)

PT chuyển động của xe 1 là: \(x_1=40.t\) (km)

+ Xe 2: \(x_0=15km\), \(v=60(km/h)\)

Xe 2 xuất phát chậm hơn xe 1 là 1h nên ta có phương trình là: \(x_2=15+60(t-1)=60.t-45(km)\)

c) Hai xe gặp nhau khi  \(x_1=x_2\)

\(\Rightarrow 40.t=60.t-45\)

\(\Rightarrow t = 2,25(h)\)

Vậy thời điểm 2 xe gặp nhau là: \(7+2,25=9,25h=9h15'\)

Tọa độ 2 xe gặp nhau là: \(x=40.2,25=90(km)\)

d) Sau khi gặp nhau 1 h, thì \(t=2,25+1=3,25(h)\)

Khoảng cách 2 xe là: \(d=|x_1-x_2|=|45-20t|=|45-20.3,25|=20(km)\)

a) Để lập phương trình chuyển động bạn cần chọn 1 hệ quy chiếu, là một trục tọa độ và mốc thời gian, cách làm như sau:

+ Chọn trục tọa độ như hình vẽ, mốc thời gian là lúc hai ô tô xuất phát.

+ Phương trình tổng quát của chuyển động thẳng đều là: \(x=x_0+v_0.t\)

+ Xe A: \(x_0=0\); \(v_0=80(km/h)\), pt chuyển động là: \(x_1=80.t(km)\)

+ Xe B: \(x_0=120(km)\); \(v_0=50(km/s)\), pt chuyển động là: \(x_2=120+50.t(km)\)

b) Hai xe gặp nhau khi có tọa độ bằng nhau \(\Rightarrow x_1=x_2\)

\(\Rightarrow 80.t=120+50.t\)

\(\Rightarrow t =4(h)\)

Thay vào pt chuyển động ta được \(x=80.t=320(km)\)

Vậy 2 xe gặp nhau sau 4h, tại vị trí có tọa độ 320 km.

gọi quãng đường, thời gian, vận tốc của xe đi từ A lần lượt là S₁, t₁, v₁ 

gọi quãng đường, thời gian, vận tốc của xe đi từ B lần lượt là S₂, t₂, v₂  

hai xe chuyển động cùng lúc nên: t₁ = t₂ = t 

hai xe chuyển động ngược chiều nên:

S₁ - S₂ = 120

=> v₁t₁ - v₂t₂ =120

=> t( v₁ - v₂) =120   

=> t(80 - 50) =120

=> t= 4h

vậy sau 4h hai xe gặp nhau và cách A một khoảng 

S' = v₁t = 80 . 4 = 320km

1) Chọn trục tọa độ Ox như hình vẽ, mốc thời gian lúc ô tô xuất phát.

- Phương trình vận tốc: \(v=v_0+a.t\)

Ban đầu, \(v_0=0\); \(a=0,5m/s^2\)

Suy ra: \(v_1=0,5.t(m/s)\)

- Phương trình tọa độ: \(x=x_0+v_0.t+\dfrac{1}{2}a.t^2\)

\(x_0=0\); \(v_0=0\); \(a=0,5(m/s^2)\)

Suy ra: \(x_1=\dfrac{1}{2}.0,5.t^2=0,25.t^2(m)\)

2) Đổi \(v_{02}=18km/h=5m/s\)

a) Phương trình chuyển động của tàu điện là: 

\(x_2=x_0+v_0.t+\dfrac{1}{2}a.t^2=0+5.t+\dfrac{1}{2}.0,3.t^2\)

\(\Rightarrow x_2=5.t+0,15.t^2(m)\)

Ô tôt đuổi kịp tàu điện khi: \(x_1=x_2\)

\(\Rightarrow 0,25.t^2=5.t+0,15.t^2\)

\(\Rightarrow t = 50(s)\)

Vị trí gặp nhau là: \(x=0,25.50^2=625(m)\)

b) Thay \(t=50s\) vào phương trình vận tốc của ô tô và tàu điện ta được:

Vận tốc của ô tô: \(v_1=0,5.t=0,5.50=25(m/s)\)

Vận tốc của tàu điện: \(v_2=5+0,3.t=5+0,3.50=20(m/s)\)

bạn có viết sai pt nào k vậy?

bài toán này nghĩ mãi không ra, mình làm theo cách dời hình của lớp 11 nên không thấy hợp lý lắm.
bản thân \(x_B,x_A\)khá lẻ. Để tí nữa mình sửa lại cho chẵn để dẽ tính hơn.