\(P^2=\left(x\sqrt{8-x}+\left(5-x\right)\sqrt{x+3}\right)^2\)

\(=x^2\left(8-x\right)+\left(5-x\right)^2\left(x+3\right)+2x\left(5-x\right)\sqrt{8-x}\sqrt{x+3}\)

\(=x^2-5x+75+2x\left(5-x\right)\sqrt{8-x}\sqrt{x+3}\)

Có \(\sqrt{8-x}\sqrt{x+3}\le\frac{8-x+x+3}{2}=\frac{11}{2}\)

\(0\le x\le5\Rightarrow x\left(5-x\right)\ge0\)

Suy ra \(P^2\le x^2-5x+75+2x\left(5-x\right).\frac{11}{2}\)

                   \(=x^2-5x+75+11x\left(5-x\right)\)

                  \(=10x\left(5-x\right)+75\)

                    \(\le10.\left(\frac{x+5-x}{2}\right)^2+75=\frac{275}{2}\)

Suy ra \(P\le\sqrt{\frac{275}{2}}=\frac{5\sqrt{22}}{2}\)

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}8-x=x+3\\x=5-x\end{cases}}\Leftrightarrow x=\frac{5}{2}\). 

Vậy \(maxP=\frac{5\sqrt{22}}{2}\).

\(P^2=x\left(x-5\right)+75+2x\left(5-x\right)\sqrt{8-x}\sqrt{x+3}\)

\(=x\left(5-x\right)\left(2\sqrt{8-x}\sqrt{x+3}-1\right)+75\)

Có \(0\le x\le5\)nên \(\sqrt{8-x}\ge\sqrt{8-5}>1,\sqrt{x+3}\ge\sqrt{0+3}>1\)

suy ra \(\sqrt{8-x}\sqrt{x+3}>1\Rightarrow2\sqrt{8-x}\sqrt{x+3}-1>0\)

\(0\le x\le5\) nên \(x\left(5-x\right)\ge0\)

Suy ra \(P^2=x\left(5-x\right)\left(2\sqrt{8-x}\sqrt{x+3}-1\right)+75\ge75\)

\(P\ge\sqrt{75}=5\sqrt{3}\).

Dấu \(=\)xảy ra khi \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=5\end{cases}}\).

Vậy \(minP=5\sqrt{3}\).

a/ Ta có

\(CN\in BC;DM\in AD\)

BC//AD

=> CN//DM (1)

Ta có

\(CN=\frac{BC}{2};DM=\frac{AD}{2};BC=AD\Rightarrow CN=DM\) (2)

Từ (1) và (2) => MNCD là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau thì tứ giác đó là hbh)

b/

Do MNEC là hbh => MN//CD mà CD//AB => MN//AB

Mà AB vuông có Với CE => MN vuông góc với CE => MN là đường cao của tg MEC (3)

Xét tg BEC có

N là trung điểm BC

MN//AB (cmt)

=> MN đi qua trung điểm của CE (trong 1 tf đường thẳng đi qua trung điểm của 1 cạnh và // với cạnh thứ 2 thì nó đi qua trung điểm của cạnh còn lại)  mà MN vuông góc CE (cmt) => MN là đường trung trực thuccj cạnh CE của tg MCE (4)

Từ (3) và (4) => tg MCE cân tại M (trong 1 tg có đường cao đồng thời là đường trung trực thì tg đó là tg cân)

c/ Xét hbh MNCD có

\(MN=CD=AB;CN=AB=\frac{BC}{2}\)

=> MNCD là hình thoi => \(\widehat{NMC}=\widehat{CMD}\) (trong hình thoi đường chéo là đường phân giác của 2 góc đối nhau) (5)

Xét tg cân MCE có MN là đường cao => MN là phân giác của \(\widehat{CME}\) (trong tg cân đường cao đồng thời là đường phân giác)

\(\Rightarrow\widehat{EMN}=\widehat{NMC}\) (6)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow\widehat{EMN}=\widehat{NMC}=\widehat{CMD}\Rightarrow\widehat{EMD}=\widehat{EMN}+\widehat{NMC}+\widehat{CMD}=3.\widehat{EMN}\) (7)

Do MN//AB \(\Rightarrow\widehat{AEM}=\widehat{EMN}\) (góc so le trong) (8)

Từ (7) và (8) \(\Rightarrow\widehat{EMD}=3.\widehat{AEM}\left(dpcm\right)\)

1/ Gọi O là giao hai đường chéo AC và BD 

=> OA=OC; OB=OD (trong HCN hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Ta có AC=BD (trong HCN hai đường chéo băng nhau)

=> OA=OC=OB=OD => 4 điểm A;B;C;D cùng nằm trên một đường tròn tâm O là giao của hai đường chéo HCN

2/

a/

Ta có tam giác ABC vuông tại A => BC là cạnh huyền, gọi O là trung điểm cạnh huyền => AO là trung tuyến thuộc cạnh huyền

=> OA=OB=OC=BC/2 (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền) => O là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC

b/

Ta có tg ABC có BC là đường kính đường tròn ngoại tiếp tg ABC => OA=OB=OC

+ Xét tg AOB có OA=OB => tg AOB cân tạo O => ^BAO = ^AOB (1)

+ Xét tg AOC có OA=OC => tg AOC cân tại O => ^CAO = ^AOC (2)

Xét tg ABC có 

^ABC+^ABO+^ACO=180 (tổng các góc trong của 1 tg =180 độ)

=> (^BAO+^CAO)+^ABO+^ACO=180 (3)

Từ (1) (2) và (3) => ^ABC=^BAO+^CAO=^ABO+^ACO=180:2=90

=> tg ABC vuông tại A

trung bình mỗi con khoảng 146.25kg

trung bình mỗi con cân nặng số kg là

(102+231+177) : 3 =170 (kg)

ĐS:170 kg

các bn lm bài giải ra nhé

1 quyển vở: 10000
1 cái bút:3000

Vì lúc đầu mua 3 quyển vở và 2 cái bút, lần 2 mua 5 quyển vở mà vẫn là mua 2 cái bút. Vậy giá của 2 cái bút ko thay đổi.
Giá tiền mua bút và vở lần 1 kém giá tiền mua bút và vở lần 2 là: 56000 - 36000 = 20000(đồng)

Số vở mua lần 1 và số vở mua lần 2 kém nhau là: 5 - 3 = 2 (quyển)

Giá tiền 1 quyển vở là: 20000 : 2 = 10000

GIá tiền mua 2 cái bút là: 56000 - (10000 x 5) = 6000 (đồng)

Giá tiền mua 2 cái bút là : 6000 : 2 = 3000 (đồng)

Đ/S: 1 quyển vở: 10000 đồng
        1 cái bút: 3000 đồng

Theo giả thiết, ta có: \(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=2019\Rightarrow x+y+z=2019xyz\)

Xét \(\sqrt{2019x^2+1}=\sqrt{\frac{x^2+xy+xz}{yz}+1}=\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}{yz}}\le\frac{\frac{x+y}{y}+\frac{x+z}{z}}{2}=\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+1\)\(\Rightarrow\frac{x^2+1+\sqrt{2019x^2+1}}{x}\le\frac{x^2+1+\frac{x}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+1}{x}=x+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\frac{2}{x}\)

Tương tự, ta có: \(\frac{y^2+1+\sqrt{2019y^2+1}}{y}\le y+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\right)+\frac{2}{y}\); \(\frac{z^2+1+\sqrt{2019z^2+1}}{z}\le z+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\frac{2}{z}\)

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{x^2+1+\sqrt{2019x^2+1}}{x}+\frac{y^2+1+\sqrt{2019y^2+1}}{y}+\frac{z^2+1+\sqrt{2019z^2+1}}{z}\le\left(x+y+z\right)+3\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=2019xyz+3.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\le2019xyz+3.\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{xyz}=2019xyz+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{xyz}=2019xyz+2019^2xyz=2019.2020xyz\)Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{673}}\)