A = 2 + 2²  +  2³ +....+ 2^99​

   = (2 + 2² + 2³) + .... + (2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹)

   = 2.(1 + 2 + 4) + .... + 2⁹⁷.(1 + 2 + 4)

   = 2.7 + ..... + 2⁹⁷.7

   = 7.(2 + .... + 2⁹⁷) chia hết cho 7

A=2+2²+2³+...+2⁹⁹

A=2(1+2+4)+2³(1+2+4)+2⁵(1+2+4)+...+2⁹⁷(1+2+4)

A=2.7+2³.7+2⁵.7+...+2⁹⁷.7

A=7(2+2³+2⁵+2⁷+...+2⁹⁷)

nên biều thức trên chia hết cho 7

A=2+2²+2³+...+2⁹⁹

A=2(1+2+4+8+16)+2⁵(1+2+4+8+16)+....+2⁹⁵(1+2+4+8+16)

A=2.31+2⁵.31+...+2⁹⁵.31

A=31(2+2⁵+...+2⁹⁵⁾

vậy A chia hết cho 31 nên số dư của 31 chia A là 0

Ta có:     \(\sqrt{A}=\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+20^3}=1+2+3+...20\)

                \(\sqrt{A}=\frac{\left(20+1\right).20}{2}=210\)     

\(\Rightarrow\)\(A=210^2=44100\)

Vậy   \(A=44100\)

Nhận xét mọi số hạng trong tổng đều có dạng \(n^3\)

Ta có

Dễ thấy 

\(n^3-n=n\left(n^2-1^2\right)=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\)

=> n³ =  (n - 1).n.(n + 1)  + n.

Áp dùng ta có:

1³ =(-1)0.1 + 1

2³ = 1.2.3 + 2

3³ = 2.3.4 + 3

....

20³=19.20.21+20

=> A = (1 + 2+3+...+20) + (1.2.3 + 2.3.4 + ...+ 19.20.21)

 Giả sử B+C=A

 Với            B=1+2+3+4+.....+20

            C=1.2.3+2.3.4+....+19.20.21

Ta có

4C = 1.2.3.4 + 2.3.4.(5 - 1) + ...+ 19.20.21(22 - 18)

4.C = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + ...+ 19.20.21.22 - 18.19.20.21

4.C=(1.2.3.4 - 1.2.3.4)+(2.3.4.5-2.3.4.5)+........+(18.19.20.21-18.19.20.21)+19.20.21.22

4C=19.20.21.22

=>C\(=\frac{19.20.21.22}{4}=43890\)

Mặt khác

B=\(\frac{\left(20+1\right)20}{2}=210\)

Mà B+C=A

=>A=43890+210=44100

Ta có:

10²⁰¹¹ + 2³ = 1000...0 + 8 = 1000...08

                (2011 chữ số 0)(2010 chữ số 0)

=> tổng các chữ số của 10²⁰¹¹ + 2³ là: 1 + 0 + 0 + 0 + ... + 0 + 8 = 9 chia hết cho 9

                                                                   2010 số 0

=> 10²⁰¹¹ + 2³ chia hết cho 9

Chứng tỏ \(\frac{10^{2011}+2^3}{9}\)là số nguyên

Để \(\frac{10^{2011}+2^3}{9}\in N\)thì \(10^{2011}+2^3\) chia hết cho 9

Ta có:10²⁰¹¹+2³=1000000..........000+8=10000........00008

                             2011 số 0                   2010 số 0

Có tổng các chữ số là:1+0+0+0+............+0+0+0+8=9 chia hết cho 9

                                           2010 số 0

\(\Rightarrow10^{2011}+2^3\) chia hết cho 9

\(\Rightarrow\frac{10^{2011}+2^3}{9}\) là số tự nhiên

a) 5p + 3 là số nguyên tố

=> 5p + 3 lẻ

=> 5p chẵn

=> p chẵn

Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2

=> p = 2

b) Vì p là số nguyên tố < 7, nên:

Nếu p = 2 thì p + 2 = 4, là hợp số, loại.

Nếu p = 3 thì p + 6 = 9, là hợp số, loại.

Nếu p = 5 thì p + 2 = 7, p + 6 = 11, p + 8 = 13 đều là số nguyên tố, chọn.

=> p = 5

a) Do 5p + 3 nguyên tố > 3 => 5p + 3 lẻ

=> 5p chẵn => p chẵn

Mà p nguyên tố và 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất => p = 2

Vậy p = 2

b) Do p + 2; p + 6; p + 8 đều nguyên tố => p lẻ

+ Với p = 3 thì p + 6 = 9, không là số nguyên tố, loại

+ Với p = 5 thì p + 2 = 7; p + 6 = 11; p + 8 = 13 đều là số nguyên tố, chọn

Mà p < 7 nên p = 5

Vậy p = 5

Cấm copy

Nếu p = 3k hay p = 3 thì 8p-1 = 23 là số nguyên tố. 8p+1 = 25 là hợp số.

Nếu p = 3k+1 thì 8p +1 = 8(3k+1) + 1 = 24k + 9 là hợp số.

Nếu p = 3k + 2 thì 8p -1 = 8(3k+2 ) - 1 = 24k + 15 là hợp số không thể là số nguyên tố.

Bài toán được chứng minh.

Xét p dưới dạng : 3k (khi đó p=3), 3k+1,3k+2(k∈N).

Dạng thứ ba không thỏa mãn đề bài (vì khi đó 8p−1 là hợp số), hai dạng trên đều cho 8p+1 là hợp số.