Áp dụng bđt Cauchy :

\(\frac{1}{1+a}=\left(1-\frac{1}{1+b}\right)+\left(1-\frac{1}{1+c}\right)=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)

Tương tự : \(\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)}}\)

\(\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}}\)

Nhân theo vế : \(\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge\frac{8abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\)

\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)

Vậy Max abc = 1/8 khi a = b = c = 1/2

7894561230++

Bạn thêm điều kiện x,y,z lớn hơn 0 nhé :)

Từ giả thiết ta suy ra : \(a^2=b+4032\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+4032\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx=2016\)thay vào :

\(x\sqrt{\frac{\left(2016+y^2\right)\left(2016+z^2\right)}{2016+x^2}}=x\sqrt{\frac{\left(y^2+xy+yz+zx\right)\left(z^2+xy+yz+zx\right)}{x^2+xy+yz+zx}}\)

\(=x\sqrt{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+y\right)\left(z+x\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}=x\left|y+z\right|=xy+xz\)vì x,y,z > 0

Tương tự : \(y\sqrt{\frac{\left(2016+z^2\right)\left(2016+x^2\right)}{2016+y^2}}=xy+zy\)

\(z\sqrt{\frac{\left(2016+x^2\right)\left(2016+y^2\right)}{2016+z^2}}=zx+zy\)

Suy ra \(P=2\left(xy+yz+zx\right)=2.2016=4032\)

Ta có:

\(8x+8y+8z< 8x+9y+10z\)

\(\Rightarrow x+y+z< \frac{100}{8}< 13\)

\(\Rightarrow Gt\Leftrightarrow11< x+y+z< 13\)

Mà x+y+z nguyên dương \(\Rightarrow x+y+z=12\)

Ta có hệ: \(\hept{\begin{cases}x+y+z=12\left(1\right)\\8x+9y+10z=100\left(2\right)\end{cases}}\)

Nhân 2 vế của (1) với 8 ta đc:

\(\hept{\begin{cases}8x+8y+8z=96\left(3\right)\\8x+9y+10z=100\left(2\right)\end{cases}}\)

Trừ theo vế của (2) cho (3) ta đc:\(y+2z=4\left(4\right)\).

Từ \(\left(4\right)\Rightarrow z=1\)(vì nếu \(z\ge2\), thì do\(y\ge1\Rightarrow y+2z\ge4\),Mâu thuẫn)

Với \(z=1\Rightarrow y=2;x=9\)

Vậy...

Do các số x,y,zx,y,z nguyên dương nên
x+y+z>11 suy ra x+y+z≥12
Có
100=8(x+y+z)+(y+2z)≥96+(y+2z)
Suy ra 
4≥y+2z≥3
Tức là 
y+2z ∈ {3;4}
Theo đề bài thì 
8x+9y+10z=100
Số y là số chẵn .
Tức là y+2z cũng là số chẵn .
Suy ra 
y+2z=4 Hay y=2; z=1
Thế ngược lại vào 
8x+9y+10z=100 tìm được x=9
Vậy  (x,y,z)=(9,2,1)

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp : 

Dễ thấy BĐT đúng với n = 1,2 

Giả sử BĐT đúng với n = k (k là số tự nhiên) , tức \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}\le k\sqrt{\frac{k+1}{2}}\) 

Ta sẽ chứng minh BĐT cũng đúng với n = k+1 , tức là \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k+1}\le\left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)

Ta có : \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}+\sqrt{k+1}\le k\sqrt{\frac{k+1}{2}}+\sqrt{k+1}\)

Cần chứng minh \(k\sqrt{\frac{k+1}{2}}+\sqrt{k+1}\le\left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)

Điều này tương đương với \(k\sqrt{k+1}+\sqrt{2}.\sqrt{k+1}\le\left(k+1\right)\sqrt{k+2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{k+1}\left(\sqrt{k^2+3k+2}-\sqrt{2}-k\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{k^2+3k+2}\ge k+\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{k^2+3k+2}\right)^2\ge\left(k+\sqrt{2}\right)^2\) (Vì k là số tự nhiên)

\(\Leftrightarrow k^2+3k+2\ge k^2+2\sqrt{2}k+2\)

\(\Leftrightarrow3k\ge2\sqrt{2}k\) (luôn đúng)

Vậy giả thiết quy nạp đúng.

Ta có điều phải chứng minh.

Ngoài cách của Hoàng Lê Bảo Ngọc, mình sẽ giải cho bạn cách khác

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopski:

\(\left(x_1+x_2+x_3+...+x_n\right)^2\le n\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2\right)\)

Suy ra ta có:

\(\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\right)^2\le n.\left(1+2+3+...+n\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\right)^2\le n.\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

Do đó:

\(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\le\sqrt{\frac{n^2\left(n+1\right)}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\le n.\sqrt{\frac{n+1}{2}}\)(đpcm)

ta thấy \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{2}}>...>\frac{1}{\sqrt{n}}\)nên \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\)>\(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\)=\(\frac{n}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\)

với mọi k thuộc N ta luôn có 

\(\frac{1}{\sqrt{k}}=\frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k}}< \frac{2}{\sqrt{k}+\sqrt{k-1}}\)=\(\frac{2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)}{k-k+1}=2\left(\sqrt{k}-\sqrt{k-1}\right)\)

áp dụng tính chất này ta có

\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\)<2(\(\sqrt{1}-\sqrt{0}+\sqrt{2}-\sqrt{1}\)+...+\(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\))=\(2\left(\sqrt{n}-\sqrt{0}\right)=2\sqrt{n}\)

\(\frac{a^2}{a+b^2}=a-\frac{ab^2}{a+b^2}\ge a-\frac{\sqrt{ab^2}}{2}=a-\frac{\sqrt{ab.b}}{2}\ge a-\frac{ab+b}{4}\)

CMTT: \(VT\ge2.\left(a+b+c-\frac{a+b+c+ab+cb+ca}{4}\right)\)

Ta lại có \(3\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\le\left(a+b+c\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=3\left(a+b+c\right)\)

=> \(ab+bc+ca\le a+b+c\)

=> \(VT\ge2\left(a+b+c-\frac{a+b+c}{2}\right)=a+b+c\left(dpcm\right)\)

Dấu bằng khi a=b=c=1

Mình có một cách khác. Các bạn xem nhé!

Đặt a  = b  = c . Ta có:

\(\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}=\frac{2a^2}{a+a^2}+\frac{2a^2}{a+a^2}+\frac{2a^2}{a+a^2}=3\left(\frac{2a^2}{a^3}\right)\ge a^3\)(Do a = b = c nên ta thế a,b,c = a)

\(\Leftrightarrow\frac{2a^2}{a^3}+\frac{2b^2}{b^3}+\frac{2c^2}{c^3}=\frac{2a^2+2b^2+2c^2}{a^3+b^3+c^3}=\frac{6\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\left(a^2.b^2.c^2\right):\left(a+b+c\right)}=\frac{6}{2}=3\)

\(\Rightarrow\frac{2a^2}{a+b^2}+\frac{2b^2}{b+c^2}+\frac{2c^2}{c+a^2}>a+b+c^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu = xảy ra khi a =b = c  = 1

Điều kiện xác định ; \(\hept{\begin{cases}x,y\ge0\\x,y\in Z\end{cases}}\)

Ta có : \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{931}\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=931\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2-x+y=931-x+y\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2-\left(\sqrt{x}\right)^2+\sqrt{y}.\sqrt{y}=931-x+y\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{y}.\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=931-x+y\)

\(\Leftrightarrow4y\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2=\left(931-x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow4y.931=\left(931-x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2^2.7^2.19.y=\left(931-x+y\right)^2\)

Nhận xét : Vế phải là bình phương của một số tự nhiên, do vậy đẳng thức xảy ra khi vế trái cũng là bình phương của một số tự nhiên. Vậy thì \(y=19.k^2\)với k là một số tự nhiên

Ta xét với k = 1,2,3,.... thì chọn được k = 7 thỏa mãn. (Chú ý điều kiện \(y\le931\))

Vậy (x;y) = (0;931) ; (931;0)

Ta vẫn chọn được hai cặp (x;y) vì do vai trò của hai số này bình đẳng.

chao p

Gọi cặp hai tập hợp con không giao nhau của X là ( A; B), trong đó \(A\in X;B\in X;A\cap B=\Phi\)

Lấy 1 phần tử \(x\in X\) thì có 3 trường hợp:

\(x\in A;x\in B\) hoặc x không thuộc cả A và B.

Như vậy có tổng cổng 3ⁿ cặp được sắp thứ tự gồm hai tập con không giao nhau của X. Lại có trong 3ⁿ cặp đó có duy nhất 1 cặp gồm hai tập hợp rỗng, như vậy có 3ⁿ - 1 cặp được sắp thứ tự gồm hai tập con không giao nhau của X, trong đó có ít nhất một tập hợp khác rỗng. Lại có cặp (A ; B) và cặp (B ; A) là giống nhau, như vậy có \(\frac{3^n-1}{2}\) cặp .

Lại có cặp gồm hai tập rỗng cũng thỏa mãn \(A\cap B=\Phi\) nên số cặp thỏa mãn đề bài là \(\frac{3^n-1}{2}+1=\frac{3^n+1}{2}\).

tớ mới học lớp 12 thôi 

đây là bài lớp mấy

Em ko chắc nhá!

Giả sử x = max{x;y}.Ta tìm max của A = x(y+1).

Ta có: \(x^2=1-y^2\Rightarrow x=\sqrt{1-y^2}\).

Do đó ta tìm max của \(A=\left(y+1\right)\sqrt{1-y^2}\). 

Xét hiệu \(A^2-\frac{27}{16}=-\frac{1}{16}\left(2y-1\right)^2\left(4y^2+12y+11\right)\le0\)

Nên \(A\le\frac{3\sqrt{3}}{4}\). Đẳng thức xảy ra khi y = 1/2 khi đó \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Vậy..