(*) \(x^3-y^3-z^3=3xyz\)\(\Leftrightarrow x^3-3xyz=\left(y+z\right)\left[\left(y+z\right)^2-3yz\right]\)

Thay \(y+z=\frac{1}{2}x^2\)(*) \(\Leftrightarrow x^3-3xyz=\frac{x^2}{2}\left(\frac{x^4}{4}-3yz\right)\)\(\Leftrightarrow\frac{x^6}{8}-x^3-\frac{3}{2}x^2yz+3xyz=0\)

\(\Leftrightarrow x^6-8x^3-12x^2yz+24xyz=0\)

\(\Leftrightarrow x^3\left(x^3-8\right)-12x\left(x-2\right)yz=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)\left(x^4-12yz+2x^3+4x^2\right)=0\)

Với mọi \(y>0;z>0\)thì \(\left(y+z\right)^2\ge4yz\)thay \(x^2=2\left(y+z\right)\)\(\Rightarrow x^4\ge16yz\ge12yz\Rightarrow x^4-12yz\ge0\)

Với mọi x>0 thì \(x^4-12yz+2x^3+4x^2>0\)

Nên (*) \(\Leftrightarrow x\left(x-2\right)=0\)vì \(x>0\)nên \(x=2\)

Thay vào \(x^2=2\left(y+z\right)\)ta được \(y+z=2\)vì y;z nguyên dương nên \(y=1;z=1\)

Thay \(x=2;y=1;z=1\)ta thấy TMĐK đề bài nên nó là nghiệm duy nhất của bài toán.

bằng 1 nhé

Gọi vận tốc của người thứ 3 là vv. Ta có:

Người thứ nhất đi trước người thứ 3 quãng đường là:

8.34=6(km)8.34=6(km)

Người thứ ba đuổi kiẹp người thứ nhất sau thời gian là:

6v−86v−8

Sau 30 phút nữa người thứ 3 đi được:

v(6v−8+12)=6vv−8+v2v(6v−8+12)=6vv−8+v2

Lúc đó người thứ nhất đi được:

6+48v−8+46+48v−8+4

Khoảng cách từ người thứ 3 đến người thứ nhất là:

6v−48v−8+v2−106v−48v−8+v2−10

Lúc đó người thứ 2 đã đi được:

12(12+6v−8+12)=12+72v−812(12+6v−8+12)=12+72v−8

Khoảng cách từ người thứ 3 đến người thứ 2 là:

12−v2+72−6vv−812−v2+72−6vv−8

→6v−48v−8+v2−10=12−v2+72−6vv−8→6v−48v−8+v2−10=12−v2+72−6vv−8

→12v−120v−8+v=22→12v−120v−8+v=22

→v2+4v−120v−8=22→22v−176=v2+4v−120→v2+4v−120v−8=22→22v−176=v2+4v−120

→v2−18v+56=0→(v−4)(v−14)=0→v2−18v+56=0→(v−4)(v−14)=0

→v=14→v=14 vì nếu v=4v=4 thì người thứ 3 đi chậm hơn người thứ 
nhất nên vô lí
 

1. Sau 15' = \(\frac{1}{4}\)giờ; Người thứ (1) đi được \(v_1\cdot\frac{1}{4}=2km\); Người thứ (2) bắt đầu đi từ A với \(v_2=12\)(km/h)
2. (1) và (2) gặp nhau cách A \(x\left(km\right)\) sau: \(t=\frac{x}{v_2}=\frac{x-2}{v_1}=\frac{x-\left(x-2\right)}{v_2-v_1}=\frac{2}{12-8}=\frac{1}{2}\)(giờ) = 30 phút. Vậy \(x=6\left(km\right)\)
3. (3) xuất phát sau (2) 30 phút tức là đúng thời điểm (1) và (2) gặp nhau cách A 6(km) với vận tốc \(v_3\)(km/h).
4. (3) gặp (1) cách A \(y\left(km\right)\)sau thời gian: \(\frac{y}{v_3}=\frac{y-6}{v_1}=\frac{y-\left(y-6\right)}{v_3-v_1}=\frac{6}{v_3-8}\)(giờ).
5. (3) đi tiếp \(\frac{1}{2}\)(giờ) nữa thì cách (1) là: \(L_{13}=\left(v_3-v_1\right)\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\left(v_3-8\right)\)(km) 
6. Trong thời gian \(\frac{6}{v_3-8}+\frac{1}{2}\)(giờ) đó (2) đi được cách (1) là: \(L_{12}=\left(v_2-v_1\right)\cdot\left(\frac{6}{v_3-8}+\frac{1}{2}\right)=4\cdot\left(\frac{6}{v_3-8}+\frac{1}{2}\right)\)(km)
7. Mà (3) cách đều (1) và (2) nên khoảng cách giữa (1) và (2) sẽ gấp 2 lần khoảng cách giữa (1) và (3) nên ta có \(L_{12}=2L_{13}\Leftrightarrow4\cdot\left(\frac{6}{v_3-8}+\frac{1}{2}\right)=2\cdot\frac{1}{2}\cdot\left(v_3-8\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{24}{v_3-8}+2=\left(v_3-8\right)\Leftrightarrow\left(v_3-8\right)^2-2\left(v_3-8\right)-24=0\)

\(\Leftrightarrow\left(v_3-8-6\right)\left(v_3-8+4\right)=0\Leftrightarrow\left(v_3-14\right)\left(v_3-4\right)=0\)

\(\Rightarrow v_3=4\)loại vì <8 km/h; (3) sẽ không gặp được (1)

và \(v_3=14\)(km/h) thỏa mãn điều kiện đề bài.

Vậy, vận tốc của người thứ 3 là 14 (km/h).

Sai đề kìa bạn

AE = 2.AD mới đúng mà

Cảm ơn bạn Hà Đình Kiệt nhiều!

lấy O là trung điểm của AM, nối OI,OK 

chứng minh cho \(\frac{EI}{ID}=\frac{FK}{DK}=\frac{AM}{MD}\) 

hình như bị sai hình

đọc lai đi

Bạn thông cảm, mình phải sử dụng cách của lớp 9 vậy :))

\(2x^2+8x=67-3y^2\Leftrightarrow2x^2+8x+\left(3y^2-67\right)=0\)\(\left(x,y>0\right)\)

Xét \(\Delta'=16-2.\left(3y^2-67\right)=-6y^2+150\)

Để phương trình có nghiệm thì \(0\le\Delta'\le150\)

\(\Rightarrow0< y\le5\)(Vì x,y nguyên dương) 

Do đó ta xét y trong khoảng trên, được : 

1. Với y = 1 suy ra phương trình : \(2x^2+8x-64=0\Leftrightarrow x^2+4x-32=0\Rightarrow x=4\)(Nhận ) hoặc \(x=-8\)( Loại)

2. Với y = 2 suy ra phương trình : \(2x^2+8x-55=0\Rightarrow x=\frac{-4+3\sqrt{14}}{2}\)(Loại) hoặc \(x=\frac{-4-3\sqrt{14}}{2}\)(Loại)

3. Với y = 3 suy ra phương trình : \(2x^2+8x-40=0\Leftrightarrow x^2+4x-20=0\Rightarrow x=-2+2\sqrt{6}\)(loại) hoặc \(x=-2-2\sqrt{6}\)(Loại)

4. Với y = 4 suy ra phương trình : \(2x^2+8x-19=0\Rightarrow x=\frac{-4+3\sqrt{6}}{2}\)(Loại) hoặc \(x=\frac{-4-3\sqrt{6}}{2}\)(Loại)

5. Với y = 5 suy ra phương trình : \(2x^2+8x+8=0\Leftrightarrow x^2+4x+4=0\Rightarrow x=-2\)(Loại)

Vậy kết luận : Tập nghiệm của phương trình là : \(\left(x;y\right)=\left(4;1\right)\)

Kéo dài CK,DE cắt AB lần lượt ở M,N.
*Áp dụng hệ quả đ/l Thales, ta có:
 BMC có AE//CM (gt)  ABAM=BEECABAM=BEEC (1)
 BNE có BN//DC  BNDC=BEECBNDC=BEEC (2)
 AMK có AM//DC  AMDC=AKDKAMDC=AKDK (3)
*(1),(2) suy ra ABAM=BNDCABAM=BNDC
 ABBN=AMDCABBN=AMDC, lại có (3)
ABBN=AKDKABBN=AKDK 
 Q.E.D 

Kéo dài CK,DE cắt AB lần lượt ở M,N.
*Áp dụng hệ quả đ/l Thales, ta có:
 BMC có AE//CM (gt)  $\frac{AB}{AM}=\frac{BE}{EC}$ (1)
 BNE có BN//DC  $\frac{BN}{DC}=\frac{BE}{EC}$ (2)
 AMK có AM//DC  $\frac{AM}{DC}=\frac{AK}{DK}$ (3)
*(1),(2) suy ra $\frac{AB}{AM}=\frac{BN}{DC}$
 $\frac{AB}{BN}=\frac{AM}{DC}$, lại có (3)
$\frac{AB}{BN}=\frac{AK}{DK}$ 

tích nha 
 Q.E.D 

mk ms hk lp 6 nên ko bít làm !! Sorry

toán hại não xàm qá làm dc mk chết nhờ thiên tài bày ch

Từ hằng đẳng thức của đề bài,dễ thấy:

\(2^3=\left(1+1\right)^3=1^3+3.1^2+3.1+1\)

\(3^3=\left(2+1\right)^3=2^3+3.2^2+3.2+1\)

\(4^3=\left(3+1\right)^3=3^3+3.3^2+3.3+1\)

\(..........\)

\(\left(n+1\right)^3=n^3+3n^2+3n+1\)

Cộng từng vế của n đẳng thức trên ta được:

\(2^3+3^3+4^3+....+\left(n+1\right)^3=\)\(\left(1^3+3.1^2+3.1+1\right)+\left(2^3+3.2^2+3.2+1\right)+...+\left(n^3+3n^2+3n+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)^3=1^3+3\left(1^2+2^2+....+n^2\right)+3\left(1+2+...+n\right)+n\)

\(\Rightarrow3\left(1^2+2^2+...+n^2\right)=\left(n+1\right)^3-3\left(1+2+...+n\right)-n-1^3\)

Từ 1-> n có: n-1+1=n (số hạng)

=>\(1+2+....+n=\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\Rightarrow3\left(1+2+..+n\right)=\frac{3n\left(n+1\right)}{2}\)

Do đó \(3\left(1^2+2^2+...+n^2\right)=\left(n+1\right)^3-\frac{3n\left(n+1\right)}{2}-\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right).\left(n+1\right)^2-\frac{3n}{2}.\left(n+1\right)-\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right).\left[\left(n+1\right)^2-\frac{3n}{2}-1\right]\)

\(=\left(n+1\right).\left[n^2+2n+1-\frac{3n}{2}-1\right]=\left(n+1\right).\left[n^2+2n-\frac{3n}{2}+1-1\right]\)

\(=\left(n+1\right)\left(n^2+\frac{n}{2}\right)=\left(n+1\right).\left(\frac{2n^2+n}{2}\right)\)

\(=\frac{\left(n+1\right).\left(2n^2+n\right)}{2}=\frac{\left(n+1\right).n.\left(2n+1\right)}{2}=\frac{1}{2}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)

\(\Rightarrow S=\frac{1}{2}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right):3=\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)

Vậy \(S=\frac{1}{6}n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)\)

ko đâu

Ta có : \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2=4\) hay \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=4\)

Mà : \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}=\frac{\left(a+b+c\right)}{abc}=1\)

Vì : \(\left(a+b+c=abc\right)\)

Nên bằng 1

Vì vậy : \(2\times\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=2\left(đpcm\right)\)