Ta có \(2^{29}=\left(2^6\right)^4.2^5=64^4.32\equiv1.5\equiv5\left(mod9\right)\).

Do đó số \(2^{29}\) chia cho 9 dư 5, tức tổng các chữ số của nó chia 9 dư 5.

Gọi chữ số còn thiếu đó là a. Tổng các chữ số của số \(2^{29}\) là: \(\left(0+1+2+...+9\right)-a=45-a\).

Do 45 - a chia cho 9 dư 5 nên a chia cho 9 dư 4.

Từ đó a = 4.

Vậy chữ số còn thiếu là 4.

Anh ơi em không hiểu đề lắm.

Chữ số còn thiếu tức là sao ạ?

[Toán.C17_19.1.2021]

Gọi x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn \(a=x+y;b=y+z;c=z+x\)

Khi đó: \(a^2b\left(a-b\right)+b^2c\left(b-c\right)+c^2a\left(c-a\right)\ge0\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\left(y+z\right)\left(x-z\right)+\left(y+z\right)^2\left(z+x\right)\left(y-x\right)+\left(z+x\right)^2\left(x+y\right)\left(z-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^3z+y^3x+z^3y\ge x^2yz+xy^2z+xyz^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge x+y+z\left(2\right)\)

Áp dụng BĐT BSC:

\(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{x}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=x+y+z\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\) đúng \(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng

VietNam TST, 1996.

Chuẩn hóa \(x^2+y^2+z^2=1.\) Cần chứng minh:

\(6\left(x+y+z\right)\le27xyz+10\)

Ta có: \(1=x^2+y^2+z^2\ge3\sqrt[3]{x^2y^2z^2}\Rightarrow x^2y^2z^2\le\dfrac{1}{27}\Rightarrow-\dfrac{\sqrt{3}}{9}\le xyz\le\dfrac{\sqrt{3}}{9}\)

Do đó: \(VP\ge27\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{9}\right)+10=10-3\sqrt{3}>0.\)

Nếu $x+y+z<0$ thì $VP>0>VT$ nên ta chỉ xét khi $x+y+z\geq 0.$

Đặt $\sqrt{3}\geq p=x+y+z>0;q=xy+yz+zx,r=xyz.$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:\(6p\le27r+10\quad\left(1\right)\)

Mà \(x^2+y^2+z^2=1\Leftrightarrow p^2-2q=1\Rightarrow q=\dfrac{\left(p^2-1\right)}{2}\quad\left(2\right)\)

Ta có: $$(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2\geq 0.$$

Chuyển sang \(\textit{pqr}\) và kết hợp với $(2)$ suy ra \({\dfrac {5\,{p}^{3}}{54}}-\dfrac{p}{6}-{\dfrac {\sqrt {2 \left(3- {p}^{2} \right) ^{3}}}{54}}\leq r \)

Từ đây thay vào $(1)$ cần chứng minh:

$$\dfrac{5}{2}p^3-\dfrac{21}{2}p+10\geqslant \dfrac{1}{2}\sqrt{2\left(3-p^2\right)^3}$$

Hay là $$\dfrac{1}{4} \left( 27\,{p}^{4}+54\,{p}^{3}-147\,{p}^{2}-148\,p+346 \right) \left( p-1 \right) ^{2}\geqslant 0.$$

Đây là điều hiển nhiên.

khiếp nhiều thế

a) \(\frac{x+1}{x-1}-\frac{3x+1}{x^2-x}=\frac{1}{x}\)

ĐKXĐ : x ≠ 0 ; x ≠ 1

<=> \(\frac{x\left(x+1\right)}{x\left(x-1\right)}-\frac{3x+1}{x\left(x-1\right)}-\frac{x-1}{x\left(x-1\right)}=0\)

<=> \(\frac{x^2+x}{x\left(x-1\right)}-\frac{3x+1}{x\left(x-1\right)}-\frac{x-1}{x\left(x-1\right)}=0\)

<=> \(\frac{x^2+x-3x-1-x+1}{x\left(x-1\right)}=0\)

<==> \(\frac{x^2-3x}{x\left(x-1\right)}=0\)

=> x² - 3x = 0

<=> x( x - 3 ) = 0

<=> x = 0 ( ktm ) hoặc x = 3 ( tm )

Vậy phương trình có nghiệm x = 3

b) \(\frac{5x}{3x-6}-\frac{2x-3}{2x-4}=\frac{1}{2}\)

ĐKXĐ : x ≠ 2

<=> \(\frac{5+x}{3\left(x-2\right)}-\frac{2x-3}{2\left(x-2\right)}-\frac{1}{2}=0\)

<=> \(\frac{2\left(5+x\right)}{6\left(x-2\right)}-\frac{3\left(2x-3\right)}{6\left(x-2\right)}-\frac{3\left(x-2\right)}{6\left(x-2\right)}=0\)

<=> \(\frac{10+2x}{6\left(x-2\right)}-\frac{6x-9}{6\left(x-2\right)}-\frac{3x-6}{6\left(x-2\right)}=0\)

<=> \(\frac{10+2x-6x+9-3x+6}{6\left(x-2\right)}=0\)

<=> \(\frac{-7x+25}{6\left(x-2\right)}=0\)

=> -7x + 25 = 0 <=> x = 25/7 ( tm )

Vậy phương trình có nghiệm x = 25/7

c) \(\frac{6x-x^2}{x^2-2x}+\frac{x}{x-2}=\frac{3}{x}\)

ĐKXĐ : x ≠ 0 ; x ≠ 2

<=> \(\frac{6x-x^2}{x\left(x-2\right)}+\frac{x^2}{x\left(x-2\right)}-\frac{3\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}=0\)

<=> \(\frac{6x-x^2+x^2-3x+6}{x\left(x-2\right)}=0\)

<=> \(\frac{3x+6}{x\left(x-2\right)}=0\)

=> 3x + 6 = 0 <=> x = -2 ( tm )

Vậy phương trình có nghiệm x = -2

d) \(\frac{x+2}{x-2}-\frac{1}{x}=\frac{2}{x^2-2x}\)

ĐKXĐ : x ≠ 0 ; x ≠ 2

<=> \(\frac{2}{x\left(x-2\right)}-\frac{x\left(x+2\right)}{x\left(x-2\right)}-\frac{x-2}{x\left(x-2\right)}=0\)

<=> \(\frac{2}{x\left(x-2\right)}-\frac{x^2+2x}{x\left(x-2\right)}-\frac{x-2}{x\left(x-2\right)}=0\)

<=> \(\frac{2-x^2-2x-x+2}{x\left(x-2\right)}=0\)

<=> \(\frac{-x^2-3x+4}{x\left(x-2\right)}=0\)

=> -x² - 3x + 4 = 0

<=> x² + 3x - 4 = 0

<=> ( x - 1 )( x + 4 ) = 0

<=> x = 1 hoặc x = -4 ( thỏa mãn )

Vậy tập nghiệm của phương trình là : S = { 1 ; -4 }

e) \(\frac{x+2}{x-2}-\frac{6}{x+2}=\frac{x^2}{x^2-4}\)

ĐKXĐ : x ≠ ±2

<=> \(\frac{\left(x+2\right)\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{6\left(x-2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{x^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=0\)

<=> \(\frac{x^2+4x+4}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{6x-12}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{x^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=0\)

<=> \(\frac{x^2+4x+4-6x+12-x^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=0\)

<=> \(\frac{-2x+16}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=0\)

=> -2x + 16 = 0 <=> x = 8 ( tm )

Vậy phương trình có nghiệm x = 8

f) \(\frac{3}{1-3x}=\frac{2}{1+3x}-\frac{7-5x}{1-9x^2}\)( chắc là như này )

ĐKXĐ : x ≠ ±1/3

<=> \(\frac{3\left(1+3x\right)}{\left(1-3x\right)\left(1+3x\right)}-\frac{2\left(1-3x\right)}{\left(1-3x\right)\left(1+3x\right)}+\frac{7-5x}{\left(1-3x\right)\left(1+3x\right)}=0\)

<=> \(\frac{3+9x}{\left(1-3x\right)\left(1+3x\right)}-\frac{2-6x}{\left(1-3x\right)\left(1+3x\right)}+\frac{7-5x}{\left(1-3x\right)\left(1+3x\right)}=0\)

<=> \(\frac{3+9x-2+6x+7-5x}{\left(1-3x\right)\left(1+3x\right)}=0\)

<=> \(\frac{10x+8}{\left(1-3x\right)\left(1+3x\right)}=0\)

=> 10x + 8 = 0 <=> x = -4/5 ( tm )

Vậy phương trình có nghiệm x = -4/5

Kẻ tiếp tuyến tại A. Gọi E là giao điểm của tiếp tuyến tại A với dây BC.

Ta có: EM=EA và \(\widehat{EAM}=\widehat{EMA}\)( tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

hay \(\widehat{EAB}+\widehat{BAM}=\widehat{ECA}+\widehat{CAM}\)

Mà \(\widehat{EAB}=\widehat{ECA}\)

=> \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) hay AM là phân giác góc BAC( đpcm)

Tam giác ABD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại D

Suy ra: AD ⊥ BD

Tứ giác BDCE là hình thoi nên EC // BD

Suy ra: EC ⊥ AD     (1)

Tam giác AIC nội tiếp trong đường tròn (O’) có AC là đường kính nên vuông tại I

Suy ra: AI ⊥ CE     (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD trùng với AI

Vậy D, A, I thẳng hàng.

2x-5(-3-x) = 2x + 15 + 5x = 7x + 15

2x-5-3-x

2x-x=5+3

x=8

a/

Ta có

 \(\widehat{mAC}=\widehat{AMK}\) (góc đồng vị) (1)

sđ\(\widehat{mAC}=\frac{1}{2}\) sđ cung AC (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) (2)

sđ\(\widehat{AEC}=\frac{1}{2}\) sđ cung AC (góc nội tiếp đường tròn) (3)

\(\widehat{AEC}=\widehat{MEK}\) (góc đối đỉnh) (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{AMK}=\widehat{MEK}\) (*)

Ta có 

\(\widehat{ACE}=\widehat{EMK}\) (góc so le trong) (5)

sđ\(\widehat{ACE}=\frac{1}{2}\) sđ cung AE  (góc nội tiếp đường tròn)(6)

sđ\(\widehat{MAK}=\frac{1}{2}\) sđ cung AE (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) (7)

Từ (5)' (6) và (7) \(\Rightarrow\widehat{MAK}=\widehat{EMK}\) (**)

Từ (*) và (**) => tg AMK đồng dạng với tg MEK

\(\Rightarrow\frac{MK}{EK}=\frac{AK}{MK}\Rightarrow MK^2=AK.EK\left(dpcm\right)\)

b/

Ta có

sđ\(\widehat{KAB}=\frac{1}{2}\) sđ cung BE (góc nội tiếp đường tròn) (1)

sđ\(\widehat{EBK}=\frac{1}{2}\) sđ cung BE ( góc giữa tiếp tuyến và dây cung) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{KAB}=\widehat{EBK}\)

Xét tam giác ABK và tam giác EBK có

\(\widehat{KAB}=\widehat{EBK}\) (cmt)

\(\widehat{AKB}\) chung

=> tam giác AKB đồng dạng với tam giác EBK

\(\Rightarrow\frac{KB}{EK}=\frac{AK}{KB}\Rightarrow KB^2=AK.EK\)

Từ kết quả của câu a \(\Rightarrow MK^2=KB^2\Rightarrow MK=KB\left(dpcm\right)\)

a)△AMK~△MEK( Chung góc K và góc MAK=góc ACE=góc KME)

suy ra AK/MK=MK/EK suy ra đpcm 

b)△AKB~△BKE(Chung góc K và góc KAB= góc KBE)

suy ra AK/BK=KB/KE suy ra KB²=AK.KE

kết hợp câu a) suy ra đpcm.

a) = AI²

b) điểm D như hình vẽAD=AI²/AB= constant.

Ta có PQI = PIA ( cùng chắn PI) nên ΔAPI ~ΔAIQ(g.g）

=> AP/AI = AI/AQ =>Ap.AQ= AI^2 ( không đổi )

Giả sử đt ngoại tiếp tấm giác BPQ cắt AB tại D (D khác B)

Khi đó tam giác ADP ~ tam giác AQB =>AD/AQ = AP/AB

hay AD.AB = AP.AQ=AI^2 ( không đổi) 

Do đó điểm D là điểm cố định (đpcm)

100⁰

Giải:

Nối M và K

Xét (O) có: \(\hat{AMK}\) là góc nội tiếp chắn cung nhỏ AK

                 \(\hat{KAB}\)  là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung nhỏ AK

\(\Rightarrow\) \(\hat{AMK}\) = \(\hat{KAB}\) ( cùng = 1/2 cung nhỏ AK )  (1)

Xét (O') có : \(\hat{BMK}\) là góc nội tiếp chắn cung nhỏ BK

                    \(\hat{KBA}\) là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung nhỏ BK

\(\Rightarrow\) \(\hat{BMK}\) = \(\hat{KBA}\) ( cùng =1/2 cung nhỏ BK ) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\) \(\hat{AMK}\)+\(\hat{BMK}\)=\(\hat{KAB}\)+ \(\hat{KBA}\)

                      \(\Leftrightarrow\) \(\hat{AMB}\) = 50° = \(\hat{KAB}\) + \(\hat{KBA}\)

Xét △ KAB có: \(\hat{AKB}\) +(\(\hat{KAB}\) + \(\hat{KBA}\) )= 180° ( Tổng ba góc trong một tam giác)

                      \(\Leftrightarrow\) \(\hat{AKB}\) + 50° = 180°

                      \(\Leftrightarrow\)\(\hat{AKB}\) = 180°-50°

                    \(\Leftrightarrow\)\(\hat{AKB}\) = 130°

Vậy \(\hat{AKB}\) có số đo là 130°