Khi \(n\rightarrow\infty\) ta có \(\frac{n^3}{n^2+3}=\frac{1}{\frac{1}{n}+\frac{3}{n^2}}\rightarrow\infty;\) \(\frac{2n^2}{2n+1}=\frac{2}{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}\rightarrow\infty\) và như vậy ở đây ta gặp vô định dạng \(\left(\infty-\infty\right)\). Do vậy để tính giới hạn ta cần biến đổi sơ bộ như sau

\(a_n=\frac{n^3-6n^2}{\left(n^2+3\right)\left(2n+1\right)}=\frac{1-\frac{6}{n}}{\left(1+\frac{3}{n^2}\right)\left(2+\frac{1}{n}\right)}\) \(\Rightarrow\lim\limits a_n=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{2}\)

Ta có

(1) \(\Leftrightarrow\) 1 + \(C_x^2\) + \(C_x^4\) + ... + \(C_x^{2n}\) \(\ge\) 2²⁰⁰³             (2)

Theo công thức khai triển nhị thức newton, ta có

(1+t)^2x = \(C_{2x}^0\) + \(C_{2x}^1\)t + \(C_{2x}^2\)t² + ... + \(C_{2x}^{2x}\)t^2x

(1 - t)^2x = \(C_{2x}^0\) - \(C_{2x}^1\)t + \(C_{2x}^2\)t² + .... + (-1)^2x\(C_{2x}^{2x}\)t^2x

Từ đó ta có

(1 + x)^2x + (1 - t)^2x = 2(1 + \(C_{2x}^2\)t² + \(C_{2x}^4\)t⁴ + ... + \(C_{2x}^{2x}\)t^2x)

Thay t = 1, có

1 + \(C_{2x}^2\) + \(C_{2x}^4\) + ... + \(C_{2x}^{2x}\) = 2^2x-1

Do đó 

(2) \(\Leftrightarrow\) 2^2x-1 \(\ge\) 2²⁰⁰³

     \(\Leftrightarrow\) 2x - 1 \(\ge\) 2003

     \(\Leftrightarrow\) x \(\ge\) 1002

Vậy với mọi số nguyên x \(\ge\) 1002 là nghiệm của (1)

(1) 1 + + + ... + 2 (2) Theo công thức khai triển nhị thức newton, ta có (1+t) = + t + t + ... + t (1 - t) = - t + t + .... + (-1) t Từ đó ta có (1 + x) + (1 - t) = 2(1 + t + t + ... + t ) Thay t = 1, có 1 + + + ... + = 2 Do đó (2) 2 2 2x - 1 2003 x 1002 Vậy với mọi số nguyên x 1002 là nghiệm của (1)