Vị trí tương đối, góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng SVIP

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1:a_1x+b_1y+c_1=0\\\Delta_2:a_2x+b_2y+c_2=0\end{matrix}\right..\)

Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ ta xét số nghiệm của hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}a_1x+b_1y+c_1=0\\a_2x+b_2y+c_2=0\end{matrix}\right.\quad\left(I\right).\)

+) Hệ $(I)$ có một nghiệm: \(\Delta_1\) cắt \(\Delta_2\) (\(\Leftrightarrow\dfrac{a_1}{a_2}\ne\dfrac{b_1}{b_2}\) nếu $a_2b_2c_2 \ne 0$).

+) Hệ $(I)$ vô nghiệm: \(\Delta_1\) // \(\Delta_2\) (\(\Leftrightarrow\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}\ne\dfrac{c_1}{c_2}\) nếu $a_2b_2c_2 \ne 0$).

+) Hệ $(I)$ có vô số nghiệm: \(\Delta_1\equiv\Delta_2\) (\(\Leftrightarrow\dfrac{a_1}{a_2}=\dfrac{b_1}{b_2}=\dfrac{c_1}{c_2}\) nếu $a_2b_2c_2 \ne 0$).

6. Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta_1:a_1x+b_1y+c_1=0\\\Delta_2:a_2x+b_2y+c_2=0\end{matrix}\right..\)

Góc giữa hai đường thẳng \(\Delta_1\) và \(\Delta_2\) được kí hiệu là \(\widehat{\left(\Delta_1,\Delta_2\right)}\) hoặc \(\left(\Delta_1,\Delta_2\right)\).

Đặt \(\varphi=\widehat{\left(\Delta_1,\Delta_2\right)}\) (\(\varphi\le90^o\)). Ta thấy $\varphi$ bằng với \(\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)\) khi \(\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)\le90^o\), hoặc bù với \(\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)\) khi \(\left(\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right)>90^o\), trong đó \(\overrightarrow{n_1};\overrightarrow{n_2}\)  lần lượt là vectơ pháp tuyến của $\Delta_1;\Delta_2$.

Vì \(\varphi\le90^o\) nên $\cos \varphi \ge 0$, do đó 

7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho đường thẳng $\Delta$ có phương trình $ax + by +c =0$ và điểm $M_0 (x_0;y_0)$. Khoảng cách từ điểm $M_0$ đến đường thẳng $\Delta$, kí hiệu là $d(M_0,\Delta)$ được tính bởi công thức

\(\color{blue}{d\left(M_0,\Delta\right)=\dfrac{\left|ax_0+by_0+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}.}\)