Tổng và hiệu của hai vectơ SVIP

1. TỔNG CỦA HAI VECTƠ

Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\). Từ một điểm \(A\) tùy ý, lấy hai điểm \(B,C\) sao cho \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}\). Khi đó \(\overrightarrow{AC}\) được gọi là tổng của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) và được kí hiệu là \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\).

Vậy \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.\)

Phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

• Quy tắc ba điểm

Với ba điểm \(M,N,P\), ta có: \(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP.}\)

• Quy tắc hình bình hành

Nếu \(ABCD\) là một hình bình hành thì 

2. TÍNH CHẤT PHÉP CỘNG VECTƠ

• Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\);
• Tính chất kết hợp: \(\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\);
• Với mọi vectơ \(\overrightarrow{a}\), ta luôn có : \(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}.\)

3. HIỆU CỦA HAI VECTƠ

Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). Hiệu của hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) là vectơ \(\overrightarrow{a}+\left(-\overrightarrow{b}\right)\) và kí hiệu là \(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}.\)

Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.

Chú ý: Cho ba điểm \(O,A,B\), ta có: \(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}.\)

Ví dụ: Cho bốn điểm \(A,B,C,D\). Chứng minh các đẳng thức sau:

a) \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\).

b) \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}.\)

Giải

a) Ta có \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}\right)+\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}\right)\)

\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CD}\right)\)

\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DD}\)

\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{0}\)

\(=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}.\) (đpcm)

b) Xét \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}\right)\)

\(=\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)-\left(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BD}\right)\)

\(=\overrightarrow{CB}-\left(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB}\right)\)

\(=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0.}\)

Suy ra \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}\) (đpcm).

4. TÍNH CHẤT VECTƠ CỦA TRUNG ĐIỂM ĐOẠN THẲNG VÀ TRỌNG TÂM TAM GIÁC 

Điểm \(M\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}.\)

Điểm \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.\)