Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp SVIP

I. TẬP HỢP

Người ta minh họa tập hợp bằng một vòng kín, mỗi phần tử của một tập hợp được biểu diễn bởi một chấm bên trong vòng kín, còn phần tử không thuộc tập hợp đó được biểu diễn bởi một chấm bên ngoài vòng kín. Cách minh họa tập hợp như vậy được gọi là biểu đồ Ven.

Nhận xét:

• Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, kí hiệu là \(\varnothing\).
• Một tập hợp có thể không có phần tử nào, cũng có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử.

II. TẬP CON VÀ TẬP HỢP BẰNG NHAU

1. Tập con 

Nếu mọi phần tử của tập hợp \(A\) đều là phần tử của tập hợp \(B\) thì ta nói \(A\) là một tập con của \(B\) và viết là \(A\subset B\)  (đọc là \(A\) chứa trong \(B\)).

Quy ước: Tập hợp rỗng $\empty$ được coi là tập con của mọi tập hợp.

Chú ý: 

\(A\subset B\Leftrightarrow\left(\forall x,x\in A\Rightarrow x\in B\right).\)

Khi \(A\subset B\) ta cũng viết \(B\supset A\) (đọc là \(B\) chứa \(A\)).

Nếu \(A\) không phải là tập con của \(B\), ta viết \(A\not \subset B\).

Tính chất:

• \(A\subset A\) với mọi tập hợp \(A\);
• Nếu \(A\subset B\) và \(B\subset C\) thì \(A\subset C\).

2. Tập hợp bằng nhau 

Khi \(A\subset B\) và \(B\subset A\) thì ta nói hai tập hợp \(A\) và \(B\) bằng nhau, viết là \(A=B\).

III. GIAO CỦA HAI TẬP HỢP 

Tập hợp gồm tất cả các phần tử vừa thuộc $A$ vừa thuộc $B$ được gọi là giao của $A$ và $B$, kí hiệu \(A\cap B\).

\(A\cap B=\)\(\{x|x\in A\) và \(x\in B\}\)

Chú ý: \(x\in A\cap B\) khi và chỉ khi \(x\in A\) và \(x\in B\). 

IV. HỢP CỦA HAI TẬP HỢP

Tập hợp gồm các phần tử thuộc \(A\) hoặc thuộc \({}\)\(B\) được gọi là hợp của hai tập hợp \(A\) và \(B\), kí hiệu là \({}\)\(A\cup B\).

\(A\cup B=\) \(\{x\in A\) hoặc \(x\in B\}\)

 Chú ý:  \(x\in A\cup B\) khi và chỉ khi \(x\in A\) hoặc  \(x\in B\). 

V. PHẦN BÙ. HIỆU CỦA HAI TẬP HỢP

Cho tập hợp \(A\) là tập con của tập hợp \(B\). Tập hợp những phần tử của \(B\) mà không phải là phần tử của \(A\) được gọi là phần bù của \(A\) trong \(B\), kí hiệu là \(C_BA.\)

Tập hợp gồm các phần tử thuộc \(A\) nhưng không thuộc \(B\) được gọi là hiệu của \(A\) và \(B\), kí hiệu là \(A\setminus B\).

\(A\setminus B=\{x|x\in A\) và \(x\notin B\}\). 

Ví dụ. Cho hai tập hợp \(X=\left\{1;3;5;7\right\}\);\(Y=\left\{x\inℤ|-2\le x< 4\right\}\). 

a) Tìm \(X\cap Y;X\cup Y\).

b) Tìm \(X\backslash Y\).

Giải

Ta có: \(Y=\left\{-2;-1;0;1;2;3\right\}\). Do đó:

a) \(X\cap Y=\left\{1;3\right\}\);\(X\cup Y=\left\{-2;-1;0;1;2;3;5;7\right\}\).

b)\(X\backslash Y\)\(=\left\{5;7\right\}\).

VI. CÁC TẬP HỢP SỐ

1. Các tập hợp số đã học

 Mối quan hệ giữa các tập hợp số: \(ℕ\subsetℤ\subsetℚ\subsetℝ\).

2. Một số tập con thường dùng của tập hợp số thực

Một số tập con thường dùng của $\mathbb{R}$:

• Khoảng

$(-\infty;+\infty)$
$(a;\,b) = \{x \in \mathbb{R} | a < x< b\} $
$(a;\,+\infty) = \{x \in \mathbb{R} | x > a \}$
$(-\infty;\,b) = \{x \in \mathbb{R } | x< b\}$

• Đoạn

$[a;\,b]=\{x \in \mathbb{R} | a \le x \le b\}$

• Nửa khoảng

$[a;\,b)=\{x \in \mathbb{R} | a \le x < b\}$
$(a;\,b]=\{x \in \mathbb{R} | a < x \le b \}$
$[a;\, +\infty) = \{x \in \mathbb{R} | x \ge a \}$
$[ -\infty; \, b) = \{x \in \mathbb{R} | x \le b \}$

Chú ý.

• Kí hiệu $+\infty$: Đọc là dương vô cực (hoặc dương vô cùng).
• Kí hiệu $-\infty$: Đọc là âm vô cực (hoặc âm vô cùng).
• $a, b$ được gọi là các đầu mút của khoảng, đoạn, nửa khoảng.