Báo cáo học liệu
Mua học liệu
Mua học liệu:
-
Số dư ví của bạn: 0 coin - 0 Xu
-
Nếu mua học liệu này bạn sẽ bị trừ: 0 coin\Xu
Để nhận Coin\Xu, bạn có thể:
Phương pháp chứng minh trực tiếp SVIP
Chứng minh với mọi số tự nhiên $n$, nếu $n$ lẻ thì $n^3$ lẻ.
Hướng dẫn giải:
Nếu $n$ lẻ thì $n$ có dạng $n = 2k+1$ với $k \in \mathbb{N}$.
Do đó $n^3 = (2k+1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k+1 = 2(4k^3 + 6k^2 + 3k) + 1$.
Suy ra $n^3$ lẻ.
Vậy với mọi số tự nhiên $n$, nếu $n$ lẻ thì $n^3$ lẻ.
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$, nếu $n$ chia hết cho $3$ thì $n(n+1)$ chia hết cho $6$.
Hướng dẫn giải:
Nếu $n$ chia hết cho $3$ thì $n = 3k$ với $k \in \mathbb{N}$.
Xét $k=2m$ thì $n = 6m$ suy ra $n(n+1) = 6m(6m+1)$ chia hết cho $6$.
Xét $k = 2m+1$ thì $n = 3(2m+1) = 6m+3$.
Suy ra $n(n+1) = (6m+3)(6m+4) = 3.(2m+1).2(3m+2) = 6.(2m+1).(3m+2)$ chia hết cho $6$.
Vậy với mọi số tự nhiên $n$, nếu $n$ chia hết cho $3$ thì $n(n+1)$ chia hết cho $6$.
Chứng minh rằng với mọi $x$, $y$ ta có $4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 \ge 4xy$.
Hướng dẫn giải:
Ta có $4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 \ge 4xy$
$\Leftrightarrow (x^2 - 4xy + 4y^2) + 3(x^2 + 2x +1) \ge 0$
$\Leftrightarrow (x-2y)^2 + 3(x +1)^2 \ge 0$ (luôn đúng với mọi $x$, $y$).
Vậy với mọi $x$, $y$ ta có $4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 \ge 4xy$.
Chứng minh rằng nếu $a \ge b$, $x \ge y$ thì $\dfrac{ax + by}2 \ge \dfrac{a + b}2 . \dfrac{x + y}2$.
Hướng dẫn giải:
Ta có $\dfrac{ax + by}2 \ge \dfrac{a + b}2 . \dfrac{x + y}2$
$\Leftrightarrow 2(ax+by) \ge (a + b)(x + y)$
$\Leftrightarrow 2(ax+by) \ge ax + ay + bx + by$
$\Leftrightarrow ax + by - ay - bx \ge 0$
$\Leftrightarrow (a - b)(x - y) \ge 0$ (luôn đúng vì giả thiết $a \ge b$ và $x \ge y$).
Vậy nếu $a \ge b$, $x \ge y$ thì $\dfrac{ax + by}2 \ge \dfrac{a + b}2 . \dfrac{x + y}2$.