Lý thuyết SVIP

I. Tính đơn điệu của hàm số

Hãy hoàn thành 2 câu hỏi dưới đây để nhớ lại kiến thức cũ đã học:

1. Định nghĩa:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số \(y=f\left(x\right)\) xác định trên K. Ta nói

Hàm số \(y=f\left(x\right)\) đồng biến (tăng) trên \(K\) nếu với mọi cặp \(x_1,x_2\in K\) mà \(x_1< x_2\) thì \(f\left(x_1\right)< f\left(x_2\right)\);

Hàm số \(y=f\left(x\right)\) nghịch biến (giảm) trên \(K\) nếu với mọi cặp  mà \(x_1,x_2\in K\) mà \(x_1< x_2\)  thì \(f\left(x_1\right)>f\left(x_2\right)\).

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên \(K\) được gọi chung là hàm số đơn điệu trên \(K\).

Nhận xét: Từ định nghĩa trên ta thấy:

a) \(f\left(x\right)\) đồng biến trên \(K\) \(\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}>0,\forall x_1,x_2\in K\) (\(x_1\ne x_2\));

    \(f\left(x\right)\) nghịch biến trên \(K\)   ​\(\Leftrightarrow\dfrac{f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)}{x_2-x_1}< 0,\forall x_1,x_2\in K\)​ (\(x_1\ne x_2\)).

b) Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải (hình a);

    Nếu hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải (hình b).

2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm

Định lý: Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm trên K.

a) Nếu \(f'\left(x\right)>0\) với mọi \(x\) thuộc K thì hàm số \(f\left(x\right)\) đồng biến trên K.

b) Nếu \(f'\left(x\right)< 0\) với mọi \(x\) thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K.

Định lý mở rộng: Giả sử hàm số \(y=f\left(x\right)\) có đạo hàm trên K. Nếu \(f'\left(x\right)\ge0\) (hoặc \(f'\left(x\right)\le0\)), \(\forall x\in K\) và \(f'\left(x\right)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K.

Ví dụ: hàm số \(y=2x^3+6x^2+6x-7\) có đạo hàm \(y'=6x^2+12x+6=6\left(x+1\right)^2\ge0,\forall x\in\mathbb{R}\). Vậy hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

II. Qui tắc xét tính đơn điệu của hàm số

Qui tắc:

1. Tìm tập xác định

2. Tính đạo \(f'\left(x\right)\). Tìm các điểm \(x_1,x_2,...,x_n\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.

3. Sắp xếp các điểm \(x_1,x_2,...,x_n\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

4. Rút ra kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.