Lý thuyết SVIP

1. Tọa độ của vectơ

Trục tọa độ, tọa độ đối với trục

Trục tọa độ (còn gọi là trục, hay trục số) là một đường thẳng mà trên đó đã xác định một điểm \(O\) và một vectơ \(\overrightarrow{i}\) có độ dài bằng \(1\). Điểm \(O\) gọi là gốc tọa độ, vectơ \(\overrightarrow{i}\) gọi là vectơ đơn vị của trục. Điểm \(M\) trên trục biểu diễn số \(x_0\) nếu \(\overrightarrow{OM}=x_0\overrightarrow{i}\).

Hệ trục tọa độ, tọa độ đối với hệ trục tọa độ

Trên mặt phẳng với một đơn vị độ dài cho trước, xét hai trục \(Ox\), \(Oy\) có chung gốc \(O\) và vuông góc với nhau. Kí hiệu vectơ đơn vị của trục \(Ox\) là \(\overrightarrow{i}\), vectơ đơn vị của \(Oy\) là \(\overrightarrow{j}\). Hệ gồm hai trục \(Ox\), \(Oy\) như vậy gọi là hệ trục tọa độ \(Oxy\). Điểm \(O\) gọi là gốc tọa độ, trục \(Ox\) gọi là trục hoành, trục \(Oy\) gọi là trục tung. Mặt phẳng chứa hệ trục tọa độ \(Oxy\) gọi là mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) hay mặt phẳng \(Oxy\).

Với mỗi vectơ \(\overrightarrow{u}\) trên mặt phẳng \(Oxy\), có duy nhất cặp số \(\left(x_0;y_0\right)\) sao cho \(\overrightarrow{u}=x_0\overrightarrow{i}+y_0\overrightarrow{j}.\) Ta nói \(\overrightarrow{u}\) có tọa độ \(\left(x_0;y_0\right)\) và viết \(\overrightarrow{u}=\left(x_0;y_0\right)\) hay \(\overrightarrow{u}\left(x_0;y_0\right)\). Các số \(x_0\), \(y_0\) tương ứng được gọi là hoành độ, tung độ của \(\overrightarrow{u}\). 

Nhận xét. Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng tọa độ.

\(\overrightarrow{u}\left(x;y\right)=\overrightarrow{v}\left(x';y'\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=x'\\y=y'.\end{matrix}\right.\)

2. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Cho hai vectơ \(\overrightarrow{u}=\left(x;y\right)\) và \(\overrightarrow{v}=\left(x';y'\right)\). Khi đó:

- \(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(x+x';y+y'\right)\);     - \(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\left(x-x';y-y'\right)\);     - \(k\overrightarrow{u}=\left(kx;ky\right)\), với \(k\inℝ\).

Nhận xét. (Dấu hiệu cùng phương của hai vectơ)

Vectơ \(\overrightarrow{v}\left(x';y'\right)\) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow{u}\left(x;y\right)\ne\overrightarrow{0}\) khi và chỉ khi tồn tại số \(k\) sao cho \(x'=kx\), \(y'=ky\) (hay là \(\dfrac{x'}{x}=\dfrac{y'}{y}\) nếu \(xy\ne0\)).

Với hai điểm \(M\left(x;y\right)\) và \(N\left(x';y'\right)\) thì \(\overrightarrow{MN}=\left(x'-x;y'-y\right)\) và khoảng cách giữa hai điểm \(M\), \(N\) là \(MN=\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{\left(x-x'\right)^2+\left(y-y'\right)^2}\).

Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho hai điểm \(A\), \(B\) thỏa mãn \(\overrightarrow{OA}=2\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}\), \(\overrightarrow{OB}=3\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}\). 

a) Chứng minh rằng \(O\), \(A\), \(B\) không thẳng hàng. 

b) Tìm tọa độ của điểm \(C\) sao cho tứ giác \(ABCO\) là hình bình hành. 

c) Tìm tọa độ của điểm \(D\) thuộc trục hoành sao cho \(DA=DB\).

Giải

a) Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow{OA}=\left(2;-3\right)\), \(\overrightarrow{OB}=\left(3;2\right)\). 

Vì \(\dfrac{2}{3}\ne\dfrac{-3}{2}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow{OA}\) và \(\overrightarrow{OB}\) không cùng phương, hay \(O\), \(A\), \(B\) không thẳng hàng.

b) \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\left(3-2;2+3\right)=\left(1;5\right)\). 

Giả sử tìm được điểm \(C\) sao cho tứ giác \(ABCO\) là hình bình hành. Khi đó \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AB}\) nên \(\overrightarrow{OC}=\left(1;5\right)\). 

Gọi điểm \(C\) có tọa độ là \(\left(x_C;y_C\right)\) thì ta có \(\overrightarrow{OC}=\left(x_C-0;y_C-0\right)=\left(x_C;y_C\right)\).

Suy ra \(C\left(1;5\right)\). 

c) Vì điểm \(D\) thuộc trục hoành nên tọa độ điểm \(D\) có dạng \(D\left(x_D;0\right)\). 

Khi đó \(DA=\left|\overrightarrow{DA}\right|=\sqrt{\left(2-x_D\right)^2+\left(-3\right)^2}=\sqrt{\left(2-x_D\right)^2+9}\), 

\(DB=\left|\overrightarrow{DB}\right|=\sqrt{\left(3-x_D\right)^2+2^2}=\sqrt{\left(3-x_D\right)^2+4}\).

Suy ra \(DA=DB\Leftrightarrow DA^2=DB^2\Leftrightarrow\left(2-x_D\right)^2+9=\left(3-x_D\right)^2+4\)

\(\Leftrightarrow x_D^2-4x_D+4+9=x_D^2-6x_D+9+4\)

\(\Leftrightarrow x_D=0\).

Vậy điểm \(D\) cần tìm trùng với gốc tọa độ \(O\left(0;0\right)\).

Chú ý: Về tọa độ trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác.

• Cho hai điểm \(A\left(x_A;y_A\right)\), \(B\left(x_B;y_B\right)\). Khi đó trung điểm \(M\) của đoạn thẳng \(AB\) có tọa độ là \(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\).
• Cho tam giác \(ABC\) với \(A\left(x_A;y_A\right)\), \(B\left(x_B;y_B\right)\), \(C\left(x_C;y_C\right)\). Khi đó trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ là \(\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};\dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)\).