Hàm số bậc hai. Đồ thị và ứng dụng SVIP

I. HÀM SỐ BẬC HAI

Hàm số bậc hai là hàm số được cho bằng biểu thức có dạng \(y=ax^2+bx+c,\) trong đó \(a,b,c\) là các hằng số và \(a\ne0.\)

Tập xác định của hàm số bậc hai là \(ℝ\).

Ví dụ: trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai?

a)\(y=3x^3-2x+1\);

b)\(y=-2x^2+x+3\);

c)\(y=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{2}{x}+1\).

Giải

Hàm số \(y=-2x^2+x+3\) là hàm số bậc hai có hệ số của \(x^2\) là \(-2\), hệ số của \(x\) là \(1\), hệ số tự do là \(3.\)

Hàm số \(y=3x^3-2x+1\) và \(y=\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{2}{x}+1\) không phải là hàm số bậc hai.

II. ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC HAI

Đồ thị hàm số bậc hai \(y=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\) là một đường parabol có đỉnh là điểm với tọa độ \(\left(-\dfrac{b}{2a};-\dfrac{\Delta}{4a}\right)\) và trục đối xứng là đường thẳng \(x=-\dfrac{b}{2a}.\)

Nhận xét: Cho hàm số \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\) ta có \(-\dfrac{\Delta}{4a}=f\left(-\dfrac{b}{2a}\right).\)

Để vẽ đường parabol \(y=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\) ta tiến hành theo các bước sau:

1. Xác định tọa độ đỉnh \(I\left(-\dfrac{b}{2a};-\dfrac{\Delta}{4a}\right);\)

2. Vẽ trục đối xứng \(x=-\dfrac{b}{2a}\);

3. Xác định một số điểm đặc biệt như: giao điểm của parabol với trục tung (có tọa độ \(\left(0;c\right)\)), trục hoành (nếu có), điểm đối xứng với điểm \(\left(0;c\right)\) qua trục đối xứng \(x=-\dfrac{b}{2a}\)

4. Vẽ parabol đi qua các điểm đã xác định ta nhận được đồ thị hàm số.

Chú ý: Nếu \(a>0\) thì parabol có bề lõm quay lên trên, nếu \(a< 0\) thì parabol có bề lõm quay xuống dưới.

Ví dụ. Vẽ đồ thị hàm số \(y=x^2-4x+3\).

Giải

Tọa độ đỉnh \(I\left(2;-1\right)\);

Trục đối xứng \(x=2\).

Giao điểm của parabol với trục tung là \(A\left(0;3\right)\), giao điểm của parabol với trục hoành là \(B\left(1;0\right)\) và \(C\left(3;0\right)\).

Điểm đối xứng với điểm \(A\left(0;3\right)\) qua trục đối xứng \(x=2\) là \(D\left(4;3\right)\).

Vẽ parabol qua các điểm được xác định như trên, ta được đồ thị hàm số \(y=x^2-4x+3\).

Nhận xét: Cho hàm số \(y=ax^2+bx+c\left(a\ne0\right)\)