Cho hàm số $y=\dfrac{1}{3} x^3-\dfrac{2 m+1}{2} x^2+m(m+1) x+1$. Chứng minh rằng hàm số luôn có hai cực trị với mọi tham số $m$. Xác định $m$ đề hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
Cho hình chóp $S.A B C D$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $S A$ vuông góc với đáy, $S C$ tạo với mặt phẳng $(S A B)$ một góc $30^{\circ}$. Tính thể tích khối chóp $S . A B C D$.
Hướng dẫn giải:
Do $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $S_{A B C D}=a^2$.
Mặt khác $\left\{\begin{aligned} &B C \perp A B \\ &B C \perp S A \\ \end{aligned}\right. \Rightarrow B C \perp(S A B)$ nên góc giữa $S C$ và $(S A B)$ là $\widehat{C S B}=30^{\circ}$
Đặt $S A=x \Rightarrow S B=\sqrt{x^2+a^2}$.
Tam giác $S B C$ vuông tại $B$ nên $\tan \widehat{C S B}=\tan 30^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{B C}{S B}$
Ta được: $S B=B C \sqrt{3} \Leftrightarrow \sqrt{x^2+a^2}=a \sqrt{3} \Leftrightarrow x=a \sqrt{2}$
Vậy $V_{S A B C D}=\dfrac{1}{3} \cdot S A \cdot S_{A B C D}=\dfrac{1}{3} \cdot a \sqrt{2} \cdot a^2=\dfrac{\sqrt{2} a^3}{3}$.
Cho hàm số $y=x^3-3 m x^2+4 m^2-2$ có đồ thị $\left(C_m\right)$ và điềm $C(1 ; 4)$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để đồ thị hàm số $\left(C_m\right)$ có hai điềm cực trị $A$, $B$ sao cho diện tích tam giác $A B C$ bằng $4$.
Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m \neq 0$. (*)
Tọa độ hai điểm cực trị là: $A\left(0 ; 4 m^2-2\right)$, $B\left(2 m ;-4 m^3+4 m^2-2\right)$.
Phương trình đường thẳng $A B$: $2 m^2 x+y-4 m^2+2=0 $
$d(C ; A B)=\dfrac{\left|6-2 m^2\right|}{\sqrt{1+4 m^4}}$;
$\overrightarrow{A B}=\left(2 m ;-4 m^3\right) \Rightarrow A B=\sqrt{4 m^2+16 m^6}=2|m| \sqrt{1+4 m^4}$
Do đó: $S_{\triangle A B C}=\dfrac{1}{2} d(C ; A B) \cdot A B=\left|6 m-2 m^3\right|=4 \Leftrightarrow\left[\begin{aligned}&m=\pm 1 \\ 7m=\pm 2\\ \end{aligned}\right.$ thỏa mãn (*)
Vậy có $4$ giá trị nguyên $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
