Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai SVIP

1. ĐƯA THỪA SỐ RA NGOÀI DẤU CĂN

Phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn

Nếu $a$ là một số và $b$ là một số không âm thì $\sqrt{a^2 . b} = |a|\sqrt b$.

Ví dụ 1: Viết nhân tử số của biểu thức dưới dấu căn thành tích các lũy thừa rồi đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

$\sqrt{45} = \sqrt{5.9} = \sqrt{5.3^2} = |3|.\sqrt 5 = 3\sqrt5$.

Ví dụ 2: Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{12} = \sqrt{3.2^2} = |2|.\sqrt3 = 2\sqrt3.$

b) $5\sqrt{48} = 5\sqrt{3.4^2} = 5.|4|.\sqrt3 = 20\sqrt3$. 

Chú ý: Khi tính toán với những căn thức bậc hai mà biểu thức dưới dấu căn có mẫu, ta thường khử mẫu của biểu thức lấy căn (biến đổi căn thức bậc hai đó thành một biểu thức mà trong căn thức không còn mẫu).

Ví dụ 3: Khử mẫu của các biểu thức lấy căn:

$\sqrt{\dfrac25} = \sqrt{\dfrac{2.5}{5^2}} = \dfrac{\sqrt{10}}5$.

2. ĐƯA THỪA SỐ VÀO TRONG DẤU CĂN

Phép đưa thừa số vào trong dấu căn

Nếu $a$ và $b$ là hai số không âm thì $a\sqrt b = \sqrt{a^2b}$;

Nếu $a$ là số âm và $b$ là số không âm thì $a\sqrt b = -\sqrt{a^2b}$.

Ví dụ 4: Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $5\sqrt2 = \sqrt{5^2 . 2} = \sqrt{50}$;

b) $-2\sqrt a =- \sqrt{(-2)^2 . a} = -\sqrt{4a}$.

Ví dụ 5: So sánh $3\sqrt2$ và $2\sqrt3$.

Lời giải

Ta có $3\sqrt2 = \sqrt{3^2 . 2} = \sqrt{18}$;

$2\sqrt3 = \sqrt{2^2 . 3} = \sqrt{12}$.

Vì $12 < 18$ nên $\sqrt{12} < \sqrt{18}$. 

Vậy $3\sqrt2 > 2\sqrt3$.

3. TRỤC CĂN THỨC Ở MẪU

Cách trục căn thức ở mẫu

Với các biểu thức $A$, $B$ và $B > 0$, ta có:

$\dfrac{A}{\sqrt B} = \dfrac{A\sqrt B}B$;

Với các biểu thức $A$, $B$, $C$ và $A \ge 0$, $A \ne B^2$, ta có:

$\dfrac{C}{\sqrt A + B} = \dfrac{C(\sqrt A - B)}{A - B^2}$;

$\dfrac{C}{\sqrt A - B} = \dfrac{C(\sqrt A + B)}{A - B^2}$;

Với các biểu thức $A,$ $B$, $C$ và $A \ge 0$, $B \ge 0$, $A \ne B$, ta có:

$\dfrac{C}{\sqrt A+ \sqrt B} = \dfrac{C(\sqrt A - \sqrt B)}{A- B}$;

$\dfrac{C}{\sqrt A - \sqrt B} = \dfrac{C(\sqrt A + \sqrt B)}{A- B}$.

Ví dụ 6: Trục căn thức ở mẫu của biểu thức $\dfrac{2}{3\sqrt5}$.

Lời giải

Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đã cho với $\sqrt 5$, ta được:

$\dfrac{2}{3\sqrt5} = \dfrac{2\sqrt 5}{3(\sqrt5)^2} = \dfrac{2\sqrt5}{3.5} = \dfrac{2\sqrt5}{15}$.

Ví dụ 7: Trục căn thức ở mẫu của các biểu thức sau:

a) $\dfrac{-2}{\sqrt 3 + 1} = \dfrac{-2(\sqrt3 - 1)}{(\sqrt3 + 1)(\sqrt3 - 1)} = \dfrac{-2(\sqrt3 - 1)}{3-1} = 1 -\sqrt3$.

b) $\dfrac a{3-2\sqrt2} = \dfrac{a(3+2\sqrt2)}{(3-2\sqrt2)(3+2\sqrt2)} = \dfrac{a(3+2\sqrt2)}{9-8} = (3+2\sqrt2)a$.

Ví dụ 8: Trục căn thức ở mẫu của biểu thức (có nghĩa) sau:

a) $\dfrac2{\sqrt 5 + \sqrt3} = \dfrac{2(\sqrt 5 - \sqrt3)}{(\sqrt 5 - \sqrt3)(\sqrt 5 + \sqrt3)} = \dfrac{2(\sqrt 5 - \sqrt3)}{5-3} = \sqrt5 - \sqrt3$.

b) $\dfrac{\sqrt x}{2\sqrt x + \sqrt y} = \dfrac{\sqrt x(2\sqrt x - \sqrt y)}{(2\sqrt x + \sqrt y)(2\sqrt x - \sqrt y)} = \dfrac{\sqrt x(2\sqrt x - \sqrt y)}{4x - y}$.

4. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

Rút gọn biểu thức

Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biến đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẫu của biểu thức lấy căn; trục căn thức ở mẫu).

Ví dụ 9: Rút gọn biểu thức $A = 2\sqrt 3 - \sqrt{75} + \sqrt{(1 - \sqrt 3)^2}$.

Lời giải

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, ta có:

$\sqrt{75} = \sqrt{3.5^2} = 5\sqrt3$; $\sqrt{(1 - \sqrt 3)^2} = |1-\sqrt3| = \sqrt3 - 1$.

Do đó, $A = 2\sqrt3 - 5\sqrt3 + \sqrt3 - 1 = -1-2\sqrt3$.