Tính giá trị biểu thức nghiệm của phương trình bậc hai chứa tham số SVIP

Hướng dẫn giải:

a) $x^2-mx-1=0$ (1)

Ta có $ac=-1<0$ suy ra phương trình (1) luôn có hai nghiệm $x_1, \, x_2$ trái dấu.

b) Ta có $x_1$ là nghiệm của phương trình (1) suy ra $x_1^2-mx_1-1=0$

hay $x_1^2-1=mx_1$;

Tương tự ta có $x_2$ là nghiệm của phương trình (1) suy ra $x_2^2-mx_2-1=0$

hay $x_2^2-1=mx_2$.

$A=\dfrac{x_1^2+x_1-1}{x_1}-\dfrac{x_2^2+x_2-1}{x_2}$

$=\dfrac{mx_1+x_1}{x_1}-\dfrac{mx_2+x_2}{x_2}$

$=\dfrac{(m+1)x_1}{x_1}-\dfrac{(m+1)x_2}{x_2}=0$.

Vậy $A=0$.

Hướng dẫn giải:

a) $\Delta '=m^2+3>0$ với mọi $m$ nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo định lí Viète ta có: $x_1+x_2=2(m+1)$.

Vì $x_1$ là nghiệm của phương trình nên ta có:

$x_1^2-2(m+1)x_1+2m-2=0$ hay $x_1^2+2m-2=2(m+1)x_1$.

Suy ra $B=2(m+1)x_1+2(m+1)x_2=2(m+1)(x_1+x_2)=4(m+1)^2$.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\Delta_1, \, \Delta_2>0$ suy ra hai phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Viète ta có:

$\left\{\begin{aligned} & x_1+x_2=-2\,024; \, x_1.x_2=2 \\ & x_3+x_4=-2\,025; \, x_3.x_4=2 \\ \end{aligned}\right.$

$(x_1+x_3)(x_1+x_4)=x_1^2+x_1(x_3+x_4)+x_3x_4=x_1^2-2\,025x_1+2$.

Lại có $x_1$ là nghiệm phương trình $x^2+2\,024x+2=0$ nên:

$x_1^2+2\,024x_1+2=0 $

$x_1^2-2\,025x_1+2+4049x_1=0 $

$x_1^2-2\,025x_1+2=-4049x_1 $

$(x_1+x_3)(x_2+x_4)=-4049x_1$ (1) 

Tương tự: $(x_2-x_3)(x_2-x_4)=x_2^2-x_2(x_3+x_4)+x_3x_4=x_2^2+2\,025x_2+2$

Mà $x_2$ là nghiệm phương trình $x^2+2\,024x+2=0$ nên

$x_2^2+2\,024x_2+2=0$

$x_2^2+2\,025x_2+2-x_2=0 $

$x_2^2+2\,025x_2+2=x_2 $

$(x_2-x_3)(x_2-x_4)=x_2$ (2)

Từ (1) và (2) ta có: $(x_1+x_3)(x_2+x_4)(x_2-x_3)(x_2-x_4)=-4\,049x_1.x_2$

hay $A=-4\,049x_1x_2=-4\,049.2=-8\,098$.

Vậy $A=-8\,098$.

Hướng dẫn giải:

Ta có $a.c=-1<0$ nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm $x_1, \, x_2$ phân biệt.

Theo định lí Viète ta có: $x_1+x_2=1$ và $x_1.x_2=-1$

Ta có:

$P(x_1)=P(x_2) $

$3x_1-\sqrt{33x_1+25}=3x_2-\sqrt{33x_2+25} $

$3(x_1-x_2)-(\sqrt{33x_1+25}-\sqrt{33x_2+25})=0$

$3(x_1-x_2)-\dfrac{33(x_1-x_2)}{\sqrt{33x_1+25}+\sqrt{33x_2+25}}=0$

$1-\dfrac{11}{\sqrt{33x_1+25}+\sqrt{33x_2+25}}=0 $

$\sqrt{33x_1+25}+\sqrt{33x_2+25}=11$

$(\sqrt{33x_1+25}+\sqrt{33x_2+25})^2=121$

$33(x_1+x_2)+50+2\sqrt{(33x_1+25)(33x_2+25)}=121$ (*)

Ta có VT(*) $=33.1+50+2\sqrt{33^2x_1x_2+33.25(x_1+x_2)+25^2}$

$=83+2\sqrt{-33^2+2\,533+25^2}$

$=83+2\sqrt{361}=83+83=121=$ VP.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\Delta =(m+2)^2-8m=m^2-4m+4=(m-2)^2 \ge 0, \forall m$.

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, \, x_2$ với mọi $m$ khi $m \ne 2$.

Áp dụng hệ thức Viète ta có $x_1+x_2=-m-2; \, x_1x_2=2m$

$2(x_1+x_2 )=-2m-4; \, x_1x_2=2m$

$2(x_1+x_2)+x_1x_2=-4$

Biểu thức liên hệ giữa $x_1,x_2$ không phụ thuộc vào tham số $m$ là $2(x_1+x_2)+x_1x_2=-4$.