a) Gọi x là số đo cung nhỏ AB (x > 0)

Số đo cung lớn AB là 3x

Ta có:

x + 3x = 360⁰

4x = 360⁰

x = 360⁰ : 4

x = 90⁰

Vậy số đo cung nhỏ AB là 90⁰

b) Do số đo cung nhỏ AB là 90⁰ (cmt) 

⇒ ∠AOB = 90⁰

⇒ ∆AOB vuông tại O

Do OH là khoảng cách từ O đến AB

⇒ OH ⊥ AB

⇒ H là trung điểm của AB

⇒ OH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB của ∆AOB vuông tại O

⇒ OH = AB : 2

Gọi H là trung điểm của AB.

Theo giả thiết, góc ở tâm chắn cung AB là ˆAOB=100°.

Xét ∆OAH và ∆OBH có:

OA = OB = R

Cạnh OH chung

HA = HB (do H là trung điểm của AB)

Do đó ∆OAH = ∆OBH (c.c.c).

Suy ra ˆHOA=ˆHOB (hai góc tương ứng).

Lại có: ˆHOA+ˆHOB=ˆAOB nên 2ˆHOA=ˆAOB=100° hay ˆHOA=50°.

Xét tam giác OAH vuông tại H có: cosˆHOA=OHOA

Suy ra OA=OHcosˆHOA=3cos50°≈4,7(cm).

Vậy bán kính của đường tròn (O) khoảng 4,7 cm.

Gọi M là trung điểm của AC

Tam giác ABC vuông tại B có BM là đường trung tuyến nên:

BM = (1/2).AC (tính chất tam giác vuông)

Tam giác ACD vuông tại D có DM là đường trung tuyến nên:

DM = (1/2).AC (tính chất tam giác vuông)

Suy ra: MA = MB = MC = MD

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn tâm M bán kính bằng (1/2).AC.

Xét tam giác BB’C vuông tại B’ có BC là cạnh huyền, O là trung điểm của BC

Suy ra O cách đều ba điểm B, B’, C hay OB = OB’ = OC.

nên đường tròn tâm O bán kính OB’ đi qua B, C.

Xét tam giác BCC’ vuông tại C’ có BC là cạnh huyền, O là trung điểm của BC

Suy ra O cách đều ba điểm B, C, C’ hay OB = OC = OC’.

Vậy đường tròn tâm O bán kính OB’ đi qua B, C, C’. Xét đường tròn tâm O, bán kính OB’, ta có:

BC > B’C’ (do dây cung BC đi qua tâm O; B’C’ không đi qua tâm O).

Gọi I là trung điểm của OA

Vì MN vuông góc với OA tại trung điểm của OA

nên MN vuông OA tại I

ΔOMN cân tại O

mà OI là đường cao

nên I là trung điểm của MN

Xét tứ giác OMAN có

I là trung điểm chung của OA và MN

=>OMAN là hình bình hành

Hình bình hành OMAN có OM=ON

nên OMAN là hình thoi

OMAN là hình thoi

=>OM=MA

=>OM=MA=OA

=>ΔOMA đều

Xét ΔOMA đều có MI là đường cao

nên \(MI=OA⋅32=1032=53(cm)MI=OA⋅23​​=2103​​=53​(cm)\)

I là trung điểm của MN

=>\(MN=2⋅MI=2⋅53=103(cm)MN=2⋅MI=2⋅53​=103​(cm)\)

Gọi H là trung điểm của dây MN => OH ⊥MN, HM =MN2 = R2

Xét △OMH vuông tại H
OH2=OM2−HM2=R2 −(2R2)2= R2− R24 = 3R24=> OH = √32 R

Xét tam giác ABC có đường trung tuyến BM và BM = 1/2 AC

Suy ra: tam giác ABC vuông tại B: B=90o

Xét tứ giác ABCD có ˆA=ˆD=ˆB=90o

Suy ra: tứ giác ABCD là hình chữ nhật 

Xét tứ giác AHCD, có:

I là giao điểm của 2 đường chéo AC và AH

mà I là trung điểm AC và DH, nên:

tứ giác AHCD là hình chữ nhật

a) Ta có: ABCD là hình bình hành, nên AD // BC và AD = BC.

Ta lại có: AD // BC, nên ADB=CBD (so le trong)

Xét tam giác ADH và tam giác DCBK có:

AHD=CKB=90°;

AD = BC (chứng minh trên);

ADH=CBK (ADB=CBD).

Suy ra tam giác ADH = tam giác CBK (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó AH = CK (hai cạnh tương ứng).

Ta có AH ⊥ DB và CK ⊥ DB nên AH // CK.

Tứ giác AHCK có AH // CK và AH = CK nên AHCK là hình bình hành

b) Ta có: AHCK là hình bình hành, nên: 2 đường chéo HK và AC cắt nhau tại trung điểm

mà I là trung điểm HK

Suy ra: I là trung điểm AC

Ta lại có: ABCD là hình bình hành, nên: 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm

Suy ra: I là trung điểm BD, hay IB=ID