a/ Đặt vế trái là A ta có

\(A< \dfrac{2013}{2013+2013}+\dfrac{2014}{2014+2014}+\dfrac{2015}{2015+2015}+\dfrac{2016}{2016+2016}=\)

\(=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=2\)

b/

b/

\(2015^{2016}+2015^{2015}=2015^{2015}\left(2015+1\right)=2016.2015^{2015}\)

\(2016^{2016}=2016.2016^{2015}\)

Ta thấy \(2015^{2015}< 2016^{2015}\Rightarrow2016.2015^{2015}< 2016.2016^{2015}\)

\(\Rightarrow2015^{2016}+2015^{2015}< 2016^{2016}\)

\(2B=\dfrac{3-1}{1.2.3}+\dfrac{4-2}{2.3.4}+\dfrac{5-3}{3.4.5}+...+\dfrac{99-97}{97.98.99}=\)

\(=\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{2.3}-\dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{3.4}-\dfrac{1}{4.5}+...+\dfrac{1}{97.98}-\dfrac{1}{98.99}=\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{98.99}\)

\(\Rightarrow B=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{98.99}\right):2\)

a/

Ta có

\(\widehat{OAC}=\widehat{OGC}=90^o\)

=> A và G cùng nhìn OC dưới hai góc bằng nhau và bằng \(90^o\) => A và C thuộc đường trong đường kính OC => ACGO nội tiếp

Xét tg vuông OGF và tg vuông CAF có chung \(\widehat{AFC}\)

=> tg OGF đồng dạng với tg CAF (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{GO}{AC}=\dfrac{FO}{FC}\Rightarrow GO.FC=AC.FO\)

b/

Xét tứ giác nội tiếp ACGO có

\(\widehat{OCG}=\widehat{OAG}\) (góc nt cùng chắn cung GO)

EK//CO (gt) \(\Rightarrow\widehat{OCG}=\widehat{HEG}\) (góc so le trong)

\(\Rightarrow\widehat{OAG}=\widehat{HEG}\)

=> A và E cùng phía với GH; A và E cùng nhìn GH dưới 2 góc bằng nhau => AGHE là tứ giác nội tiếp

\(\widehat{BAE}=\widehat{HGE}\) (góc nt cùng chắn cung HE

Xét (O) có

\(\widehat{BAE}=\widehat{BDE}\) (Góc nt cùng chắn cung BE)

\(\Rightarrow\widehat{HGE}=\widehat{BDE}\) mà 2 góc trên ở vị trí đồng vị =>GH//KD (1)

Ta có

\(OG\perp DE\Rightarrow GD=GE\) (trong đường tròn đường thẳng đi qua tâm và vuông góc với dây cung thì chia đôi dây cung) (2)

Xét tg DEK từ (1) và (2) => HK=HE (trong tam giác đường thẳng // với 1 cạnh và đi qua trung điểm của 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

Gọi số ngày dự kiến hoàn thành đơn hàng là x ta có phương trình

\(500x=480\left(x+3\right)\)

\(\Leftrightarrow500x=480x+1440\Leftrightarrow x=72\)

Số bóng đèn cơ sở nhận sản xuất là

\(500.72=36000\) bóng đèn

Gọi 2 số cần tìm là a và b (a>b)

\(\dfrac{a-b}{2}.14=a+b\Leftrightarrow6a-8b=0\Leftrightarrow3a-4b=0\Leftrightarrow15a-20b=0\) (1)

\(\dfrac{4.\left(a+b\right)}{7}-2\left(a-b\right)=8\Leftrightarrow-10a+18b=56\Leftrightarrow-5a+9b=28\)

\(\Leftrightarrow-15a+27b=84\) (2)

Cộng 2 vế của (1) và (2)

\(\Rightarrow7b=84\Rightarrow b=12\)

Ta có

\(3a-4b=0\Leftrightarrow3a-4.12=0\Leftrightarrow3a=48\Rightarrow a=16\)

Trong 1 tháng có 12 ngày gây nhầm lẫn

Trong 1 năm có

12x12=144 ngày gây nhầm lẫn

\(B=\dfrac{10^{2n}-1}{9}-\dfrac{2\left(10^n-1\right)}{9}=\)

\(=\dfrac{10^{2n}}{9}-\dfrac{1}{9}-2.\dfrac{10^n}{9}+\dfrac{2}{9}=\)

\(=\left(\dfrac{10^n}{3}\right)^2-2.\dfrac{10^n}{3}.\dfrac{1}{3}+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2=\left(\dfrac{10^n}{3}-\dfrac{1}{3}\right)^2\)

\(=3^3.3^{1996}+7.7^{1996}=3^3.\left(3^4\right)^{499}+7.\left(7^4\right)^{499}\)

Ta có

\(3^4\) có tận cùng là 1 => \(\left(3^4\right)^{499}\) có tận cùng là 1

=> \(3^3.\left(3^4\right)^{499}=27.\left(3^4\right)^{499}\) có tận cùng là 7

\(7^4\) có tận cùng là 1 => \(\left(7^4\right)^{499}\) có tận cùng là 1 

=> \(7.\left(7^4\right)^{499}\) có tận cùng là 1 =>

\(\Rightarrow3^{1999}-7^{1997}\) có tận cùng là 0 \(\Rightarrow3^{1999}-7^{1997}⋮5\)