\(=\dfrac{3}{2}.\dfrac{4}{3}.\dfrac{5}{4}.....\dfrac{99}{98}.\dfrac{100}{99}=\dfrac{100}{2}=50\)

a/ H và E cùng nhìn AB dưới 1 góc vuông => ABHE là tứ giác nội tiếp

b/

\(\widehat{BDC}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét tg vuông BHI và tg vuông BDC có

\(\widehat{DBC}\) chung => tg BHI đồng dạng với tg BDC

\(\Rightarrow\dfrac{BI}{BC}=\dfrac{BH}{BD}\Rightarrow BI.BD=BH.BC\)

c/

Xét tứ giác nội tiếp ABHE có

\(\widehat{HAE}=\widehat{CBD}\) (góc nt cùng chắn cung HE) (1)

\(\widehat{AHE}=\widehat{ABD}\) (góc nt cùng chắn cung AE) (2)

Xét (O) có

\(\widehat{CBD}=\widehat{CAD}\) (góc nt cùng chắn cung CD) (3)

\(\widehat{ABD}=\widehat{ACD}\) (góc nt cùng chắn cung AD) (4)

Từ (1) và (3) \(\Rightarrow\widehat{HAE}=\widehat{CAD}\)  (5)

Từ (2) và (4) \(\Rightarrow\widehat{AHE}=\widehat{ACD}\) (6)

Từ (5) và (6) => tg AHE đồng dạng với tg ACD (g.g.g)

d/

Phần tính toán bạn kiểm tra lại nhé, đại khái cách làm là như thế

Trong mp(SAB) từ S dựng dường vuông góc với AB cắt AB tại H

Ta có

\(\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\) và AB là giao tuyến của 2 mp

\(SH\perp AB\)

\(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp CK\) (1)

Ta có AB=BC=CD=AD=a (gt)

DH cắt CK tại O

Xét tg vuông ADH và tg vuông DCK

AD=CD=a

\(AH=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{a}{2}\)

\(DK=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{a}{2}\)

=> tg ADK = tg DCK \(\Rightarrow\widehat{AHD}=\widehat{DKC}\)

Mà \(\widehat{ADH}+\widehat{AHD}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ADH}+\widehat{DKC}=90^o\) 

=> tg DOK vuông tạo O \(\Rightarrow CK\perp DH\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow CK\perp\left(SDH\right)\) 

Trong mp (SDH) từ O dựng đường thẳng vuông góc với SD cắt SD tại M

Ta có \(CK\perp\left(SDH\right);OM\in\left(SDH\right)\Rightarrow CK\perp OM\)

=> OM cùng vuông góc với SD và CK => OM là khoảng cách giữa SD và CK

Do SAB là tg đều => SA=SB=AB=a

Xét tg vuông SAH

\(SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=\sqrt{a^2-\dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Xét tg vuông ADH

\(DH=\sqrt{AD^2+AH^2}=\sqrt{a^2+\dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\)

Ta có \(SH\perp\left(ABCD\right)\left(cmt\right);DH\in\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp DH\)

Xét tg vuông SDH

\(SD=\sqrt{SH^2+DH^2}=\sqrt{\dfrac{3a^2}{4}+\dfrac{5a^2}{4}}=a\sqrt{2}\)

Xét tg vuông ODK và tg vuông ADH có chung \(\widehat{ADH}\)

=> tg ODK đồng dạng với tg ADH

\(\Rightarrow\dfrac{DO}{AD}=\dfrac{DK}{DH}\Rightarrow DO=\dfrac{AD.DK}{DH}=\dfrac{a.\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{5}}{2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)

Xét tg vuông ODM và tg vuông SDH có chung \(\widehat{SDH}\)

=> tg ODM đồng dạng với tg SDH

\(\Rightarrow\dfrac{OM}{SH}=\dfrac{DO}{SD}\Rightarrow OM=\dfrac{SH.DO}{SD}=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a\sqrt{5}}{5}}{a\sqrt{2}}\)

a/

D và E cùng nhìn MC dưới 1 góc vuông -> CDME là tứ giác nội tiếp

b/

CM tương tự ta cũng có tứ giác BDMF là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{MBF}=\widehat{MDF}\) (góc nt cùng chắn cung MF) (1)

Xét tứ giác nt CDME có

\(\widehat{MCE}=\widehat{MDE}\) (góc nt cùng chắn cung MF) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{MBF}+\widehat{MCE}=\widehat{MDF}+\widehat{MDE}=\widehat{EDF}\) (3)

Xét \(\Delta ABC\) có

AB=AC (Hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm)

=> \(\Delta ABC\) cân tại A \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\dfrac{180^o-\widehat{xAy}}{2}=\dfrac{180^o-60^o}{2}=60^o\)

Ta có

\(sđ\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung BC => sđ cung BC = 2.sđ \(\widehat{ABC}=2.60^o=120^o\) 

=> sđ cung BM + sđ cung CM = sđ cung BC \(=120^o\)

Ta có

\(sđ\widehat{MBF}=\dfrac{1}{2}sđ\)  cung BM (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(sđ\widehat{MCE}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung CM (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(\Rightarrow sđ\widehat{MBF}+sđ\widehat{MCE}=sđ\widehat{EDF}=\dfrac{sđcungBM+sđcungCM}{2}=\dfrac{sđcungBC}{2}=\dfrac{120^0}{2}=60^o\)

c/

Xét tg vuông MBF và tg vuông MCD có

\(sđ\widehat{MBF}=\dfrac{1}{2}sđcungBM\) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(sđ\widehat{MCD}=\dfrac{1}{2}sđcungBM\) (góc nt)

\(\Rightarrow\widehat{MBF}=\widehat{MCD}\) => tg MBF đồng dạng với tg MCD

\(\Rightarrow\dfrac{MF}{MD}=\dfrac{MB}{MC}\)

CM tương tự ta cũng có tg vuông MCE đồng dạng với tg vuông MBD

\(\Rightarrow\dfrac{ME}{MD}=\dfrac{MC}{MB}\Rightarrow\dfrac{MD}{ME}=\dfrac{MB}{MC}\)

\(\Rightarrow\dfrac{MF}{MD}=\dfrac{MD}{ME}\Rightarrow MD^2=ME.MF\left(đpcm\right)\)