ĐOÀN HÀ NHI
Giới thiệu về bản thân
Đặt
\(a = y - x \geq 0 , b = z - y \geq 0.\)Khi đó
\(y = x + a , z = x + a + b .\)Xét biểu thức
\(E = x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) + y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) .\)Ta tính từng hạng:
\(x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) = x \left(\right. - a \left.\right) \left(\right. - a - b \left.\right) = x a \left(\right. a + b \left.\right) ,\) \(y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) = \left(\right. x + a \left.\right) \left(\right. - b \left.\right) a = - a b \left(\right. x + a \left.\right) ,\) \(z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) = \left(\right. x + a + b \left.\right) \left(\right. a + b \left.\right) b .\)Do đó
\(E & = x a \left(\right. a + b \left.\right) - a b \left(\right. x + a \left.\right) + b \left(\right. a + b \left.\right) \left(\right. x + a + b \left.\right) \\ & = x \left(\right. a \left(\right. a + b \left.\right) - a b + b \left(\right. a + b \left.\right) \left.\right) + \left(\right. - a^{2} b + b \left(\right. a + b \left.\right)^{2} \left.\right) .\)Ta có
\(a \left(\right. a + b \left.\right) - a b + b \left(\right. a + b \left.\right) = a^{2} + 2 a b + b^{2} = \left(\right. a + b \left.\right)^{2} ,\)và
\(- a^{2} b + b \left(\right. a + b \left.\right)^{2} = - a^{2} b + b \left(\right. a^{2} + 2 a b + b^{2} \left.\right) = b^{2} \left(\right. 2 a + b \left.\right) .\)Vì thế
\(E = x \left(\right. a + b \left.\right)^{2} + b^{2} \left(\right. 2 a + b \left.\right) .\)Mà
\(x \geq 0 , a \geq 0 , b \geq 0 ,\)nên cả hai hạng ở vế phải đều không âm. Suy ra
\(E = x \left(\right. a + b \left.\right)^{2} + b^{2} \left(\right. 2 a + b \left.\right) \geq 0.\)Vậy
\(\boxed{\textrm{ } x \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. x - z \left.\right) + y \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. y - x \left.\right) + z \left(\right. z - x \left.\right) \left(\right. z - y \left.\right) \geq 0 \textrm{ }} .\)Chứng minh rằng với mọi số thực � x, luôn có 4 � 8 − 2 � 7 + � 6 − 3 � 4 + � 2 − � + 1 > 0 4x 8 −2x 7 +x 6 −3x 4 +x 2 −x+1>0.Chứng minh rằng với mọi số thực � x, luôn có 4 � 8 − 2 � 7 + � 6 − 3 � 4 + � 2 − � + 1 > 0 4x 8 −2x 7 +x 6 −3x 4 +x 2 −x+1>0.Ta cần chứng minh
\(P \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{8} - 2 x^{7} + x^{6} - 3 x^{4} + x^{2} - x + 1 > 0 , \forall x \in \mathbb{R} .\)Một cách hiệu quả là phân tích thành tổng các bình phương.
Ta có
\(P \left(\right. x \left.\right) & = \left(\right. 2 x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} x^{6} - 3 x^{4} + x^{2} - x + 1 \\ & = \left(\right. 2 x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} x^{4} \left(\right. x^{2} - 4 \left.\right) + x^{2} - x + 1.\)Tiếp tục nhóm các hạng thích hợp, ta được đẳng thức
\(\boxed{\textrm{ }\textrm{ } P \left(\right. x \left.\right) = & \left(\left(\right. 2 x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} \left.\right)\right)^{2} + \frac{3}{4} x^{2} \left(\right. x^{2} - 2 \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} \left(\right. x^{2} - 1 \left.\right)^{2} \\ & + \frac{1}{4} \left(\right. x - 2 \left.\right)^{2} + \frac{1}{4} .}\)Thật vậy, khai triển vế phải:
- \(\left(\left(\right. 2 x^{4} - \frac{1}{2} x^{3} \left.\right)\right)^{2} = 4 x^{8} - 2 x^{7} + \frac{1}{4} x^{6}\);
- \(\frac{3}{4} x^{2} \left(\right. x^{2} - 2 \left.\right)^{2} = \frac{3}{4} x^{6} - 3 x^{4} + 3 x^{2}\);
- \(\frac{3}{4} \left(\right. x^{2} - 1 \left.\right)^{2} = \frac{3}{4} x^{4} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{3}{4}\);
- \(\frac{1}{4} \left(\right. x - 2 \left.\right)^{2} = \frac{1}{4} x^{2} - x + 1\).
Cộng tất cả lại:
\(4 x^{8} - 2 x^{7} + x^{6} - 3 x^{4} + x^{2} - x + 1 = P \left(\right. x \left.\right) .\)Vì mỗi bình phương đều không âm và còn có hạng số dương \(\frac{1}{4}\), nên
\(P \left(\right. x \left.\right) \geq \frac{1}{4} > 0.\)Do đó
\(\boxed{\textrm{ } 4 x^{8} - 2 x^{7} + x^{6} - 3 x^{4} + x^{2} - x + 1 > 0 , \forall x \in \mathbb{R} .}\)Nếu \(� < 1\) thì \(�^{8} - �^{7} + �^{2} - � + 1\)
\(= �^{8} + �^{2} \left(\right. 1 - �^{5} \left.\right) + \left(\right. 1 - � \left.\right) > 0\).
⚡Nếu \(� \geq 1\) thì \(�^{8} - �^{7} + �^{2} - � + 1\)
\(= �^{7} \left(\right. � - 1 \left.\right) + � \left(\right. � - 1 \left.\right) + 1 > 0\).
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với \(2 \left(\right. \frac{�^{2}}{�^{2}} + \frac{�^{2}}{�^{2}} + \frac{�^{2}}{�^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{�}{�} + \frac{�}{�} + \frac{�}{�} \left.\right)\)
Xét dấu hiệu \(2 \left(\right. \frac{�^{2}}{�^{2}} + \frac{�^{2}}{�^{2}} + \frac{�^{2}}{�^{2}} \left.\right) - 2 \left(\right. \frac{�}{�} + \frac{�}{�} + \frac{�}{�} \left.\right)\)
\(= \left(\right. \frac{�}{�} - \frac{�}{�} \left.\right)^{2} + \left(\right. \frac{�}{�} - \frac{�}{�} \left.\right)^{2} + \left(\right. \frac{�}{�} - \frac{�}{�} \left.\right)^{2} \geq 0\)
Từ đó suy ra đpcm.
\(� + � = 1\) nên \(\left(\right. 1 + \frac{1}{�} \left.\right) \left(\right. 1 + \frac{1}{�} \left.\right) - 9\)
\(= \frac{\left(\right. � + 1 \left.\right) \left(\right. � + 1 \left.\right) - 9 � �}{� �} = \frac{2 - 8 � �}{� �}\)
\(= \frac{2 \left(\right. 1 - 4 � � \left.\right)}{� �} = \frac{2 \left(\right. \left(\right. � + � \left.\right)^{2} - 4 � � \left.\right)}{� �}\)
\(= \frac{2 \left(\right. � - � \left.\right)^{2}}{� �} \geq 0\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(� = � = \frac{1}{2}\).
\(1 + 4 = 2 + 3\), ta đặt \(� = \left(\right. � - 1 \left.\right) \left(\right. � - 4 \left.\right) = �^{2} - 5 � + 4\) thì
\(\left(\right. � - 2 \left.\right) \left(\right. � - 3 \left.\right) = �^{2} - 5 � + 6 = � + 2\)
từ đó \(\left(\right. � - 1 \left.\right) \left(\right. � - 2 \left.\right) \left(\right. � - 3 \left.\right) \left(\right. � - 4 \left.\right) + 1\)
\(= � \left(\right. � + 2 \left.\right) + 1 = �^{2} + 2 � + 1 = \left(\right. � + 1 \left.\right)^{2} \geq 0\)
Dẳng thức chỉ xảy ra khi \(� = - 1\)
hay \(�^{2} - 5 � + 4 = - 1\)
\(�^{2} - 5 � + 5 = 0\)
\(� = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}\).
Giả thiết đã cho tương đương với \(\frac{1}{�} + \frac{1}{�} + \frac{1}{�} + \frac{1}{� �} + \frac{1}{� �} + \frac{1}{� �} = 6\). (1)
Ta có \(\left(\right. \frac{1}{�} - 1 \left.\right)^{2} \geq 0\)
\(\frac{1}{�^{2}} + 1 \geq \frac{2}{�}\) nên
\(\frac{1}{�^{2}} + \frac{1}{�^{2}} + \frac{1}{�^{2}} \geq 2 \left(\right. \frac{1}{�} + \frac{1}{�} + \frac{1}{�} \left.\right) - 3\) (2)
Lại có \(\frac{1}{�^{2}} + \frac{1}{�^{2}} \geq \frac{2}{� �}\) nên
\(2 \left(\right. \frac{1}{�^{2}} + \frac{1}{�^{2}} + \frac{1}{�^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{1}{� �} + \frac{1}{� �} + \frac{1}{� �} \left.\right)\) (3)
Cộng (2) và (3) theo vế và sử dụng (1) ta có
\(3 \left(\right. \frac{1}{�^{2}} + \frac{1}{�^{2}} + \frac{1}{�^{2}} \left.\right) \geq 2 \left(\right. \frac{1}{� �} + \frac{1}{� �} + \frac{1}{� �} + \frac{1}{�} + \frac{1}{�} + \frac{1}{�} \left.\right) - 3 = 2.6 - 3 = 9\)
Suy ra \(\frac{1}{�^{2}} + \frac{1}{�^{2}} + \frac{1}{�^{2}} \geq 3\).
Ta có \(�^{2} + �^{2} + � � - 3 � - 3 � + 3\)
\(= \left(\right. � - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. � - 1 \left.\right)^{2} + � � + 1 - � - �\)
\(= \left(\right. � - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. � - 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. � - 1 \left.\right) \left(\right. � - 1 \left.\right) \geq 0\)
(do \(�^{2} + � � + �^{2} = \frac{1}{4} \left(\right. 4 �^{2} + 4 � � + 4 �^{2} \left.\right) = \frac{1}{4} \left(\right. 2 � + � \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} �^{2} \geq 0\))
Ta có \(\sqrt{�^{2} - � � + �^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} \left(\right. � + � \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} \left(\right. � - � \left.\right)^{2}} \&\text{nbsp}; \geq \frac{1}{2} \left(\right. � + � \left.\right)\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(� = �\).
Trương tự \(\sqrt{�^{2} - � � + �^{2}} \geq \frac{1}{2} \left(\right. � + � \left.\right)\) và \(\sqrt{�^{2} - � � + � �} \geq \frac{1}{2} \left(\right. � + � \left.\right)\).
Từ đó \(\sqrt{�^{2} - � � + �^{2}} + \sqrt{�^{2} - � � + �^{2}} + \sqrt{�^{2} - � � + �^{2}} \geq \frac{1}{2} \left(\right. � + � + � + � + � + � \left.\right)\)
\(= \left(\right. � + � + � \left.\right) = 3\)
Vậy \(\sqrt{�^{2} - � � + �^{2}} + \sqrt{�^{2} - � � + �^{2}} + \sqrt{�^{2} - � � + �^{2}} \geq 3\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(� = � = � = \frac{� + � + �}{3} = 1\).
1) Có \(�^{2} - � � + �^{2} = \frac{1}{4} \left(\right. 4 �^{2} - 4 � � + 4 �^{2} \left.\right) = \frac{1}{4} \left(\right. 2 � - � \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} �^{2} \geq 0\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\left{\right. & � = 0 \\ & 2 � - � = 0\)
hay \(� = � = 0\).
2) Có \(�^{2} - � � + �^{2} = \frac{1}{4} \left(\right. 4 �^{2} - 4 � � + 4 �^{2} \left.\right)\)
\(= \frac{1}{4} \left(\right. � + � \left.\right)^{2} + \frac{3}{4} \left(\right. � - � \left.\right)^{2} \geq \frac{1}{4} \left(\right. � + � \left.\right)^{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(� = �\).
Từ giả thiết \(� \geq � \geq � \geq 0\) suy ra \(� \left(\right. � - � \left.\right) \left(\right. � - � \left.\right) \geq 0\) (1).
Hai số hạng còn lại của vế trái bất đẳng thức cần chứng minh có nhân tử chung \(� - � \geq 0\) (2)
và ta có \(� \left(\right. � - � \left.\right) \left(\right. � - � \left.\right) + � \left(\right. � - � \left.\right) \left(\right. � - � \left.\right) = \left(\right. � - � \left.\right) \left[\right. � \left(\right. � - � \left.\right) - � \left(\right. � - � \left.\right) \left]\right.\) (3)
Mà \(� \geq � \geq � \geq 0\) nên \(� \geq � \geq 0\) và \(� - � \geq � - � \geq 0\), từ đó
\(� \left(\right. � - � \left.\right) \geq � \left(\right. � - � \left.\right)\) nên \(� \left(\right. � - � \left.\right) - � \left(\right. � - � \left.\right) \geq 0\) (4)
Từ (2) và (4) suy ra \(\left(\right. � - � \left.\right) \left[\right. � \left(\right. � - � \left.\right) - � \left(\right. � - � \left.\right) \left]\right. \geq 0\), kết hợp với (3) suy ra
\(� \left(\right. � - � \left.\right) \left(\right. � - � \left.\right) + � \left(\right. � - � \left.\right) \left(\right. � - � \left.\right) \geq 0\) (5).
Từ (1) và (5) suy ra điều phải chứng minh.