.

Con ko biết lm câu này ạ

⚡Nếu
x
<
1
x<1 thì
x
8
−
x
7
+
x
2
−
x
+
1
x
8
−x
7
+x
2
−x+1

=
x
8
+
x
2
(
1
−
x
5
)
+
(
1
−
x
)
>
0
=x
8
+x
2
(1−x
5
)+(1−x)>0.

⚡Nếu
x
≥
1
x≥1 thì
x
8
−
x
7
+
x
2
−
x
+
1
x
8
−x
7
+x
2
−x+1

=
x
7
(
x
−
1
)
+
x
(
x
−
1
)
+
1
>
0
=x
7
(x−1)+x(x−1)+1>0.

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
2
(
a
2
b
2
+
b
2
c
2
+
c
2
a
2
)
≥
2
(
c
b
+
b
a
+
a
c
)
2(
b
2

a
2


+
c
2

b
2


+
a
2

c
2


)≥2(
b
c

+
a
b

+
c
a

)

Xét dấu hiệu
2
(
a
2
b
2
+
b
2
c
2
+
c
2
a
2
)
−
2
(
c
b
+
b
a
+
a
c
)
2(
b
2

a
2


+
c
2

b
2


+
a
2

c
2


)−2(
b
c

+
a
b

+
c
a

)

=
(
a
b
−
b
c
)
2
+
(
b
c
−
c
a
)
2
+
(
c
a
−
a
b
)
2
≥
0
=(
b
a

−
c
b

)
2
+(
c
b

−
a
c

)
2
+(
a
c

−
b
a

)
2
≥0

Từ đó suy ra đpcm.

Nhân hai vế bất đẳng thức cần chứng minh với
x
+
y
x+y ta được bất đẳng thức tương đương là

x
5
+
y
5
>
(
x
2
+
y
2
)
(
x
+
y
)
x
5
+y
5
>(x
2
+y
2
)(x+y) (1)

Từ giả thiết
x
>
2
x>
2

suy ra
x
2
>
2
x
2
>2 suy ra
x
5
>
2
x
3
x
5
>2x
3
, từ đó

x
5
+
y
5
>
2
(
x
3
+
y
3
)
x
5
+y
5
>2(x
3
+y
3
)

=
2
(
x
2
−
x
y
+
y
2
)
(
x
+
y
)
=2(x
2
−xy+y
2
)(x+y)

=
(
x
−
y
)
2
+
(
x
2
+
y
2
)
(
x
+
y
)
≥
(
x
2
+
y
2
)
(
x
+
y
)
=(x−y)
2
+(x
2
+y
2
)(x+y)≥(x
2
+y
2
)(x+y) suy ra (1), điều phải chứng minh

Chú ý rằng
x
+
y
=
1
x+y=1 nên
(
1
+
1
x
)
(
1
+
1
y
)
−
9
(1+
x
1

)(1+
y
1

)−9

=
(
x
+
1
)
(
y
+
1
)
−
9
x
y
x
y
=
2
−
8
x
y
x
y
=
xy
(x+1)(y+1)−9xy

=
xy
2−8xy



=
2
(
1
−
4
x
y
)
x
y
=
2
(
(
x
+
y
)
2
−
4
x
y
)
x
y
=
xy
2(1−4xy)

=
xy
2((x+y)
2
−4xy)



=
2
(
x
−
y
)
2
x
y
≥
0
=
xy
2(x−y)
2


≥0

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x
=
y
=
1
2
x=y=
2
1

.

Chú ý rằng
1
+
4
=
2
+
3
1+4=2+3, ta đặt
t
=
(
x
−
1
)
(
x
−
4
)
=
x
2
−
5
x
+
4
t=(x−1)(x−4)=x
2
−5x+4 thì

(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
=
x
2
−
5
x
+
6
=
t
+
2
(x−2)(x−3)=x
2
−5x+6=t+2

từ đó
(
x
−
1
)
(
x
−
2
)
(
x
−
3
)
(
x
−
4
)
+
1
(x−1)(x−2)(x−3)(x−4)+1

=
t
(
t
+
2
)
+
1
=
t
2
+
2
t
+
1
=
(
t
+
1
)
2
≥
0
=t(t+2)+1=t
2
+2t+1=(t+1)
2
≥0

Dẳng thức chỉ xảy ra khi
t
=
−
1
t=−1

hay
x
2
−
5
x
+
4
=
−
1
x
2
−5x+4=−1

x
2
−
5
x
+
5
=
0
x
2
−5x+5=0

x
=
5
±
5
2
x=
2
5±
5



.

Vế trái bất đẳng thức cần chứng minh là
x
6
(
x
−
1
)
2
+
3
(
x
4
−
1
2
)
2
+
(
x
−
1
2
)
2
x
6
(x−1)
2
+3(x
4
−
2
1

)
2
+(x−
2
1

)
2
.

Từ đó suy ra đpcm.

Ta có
x
2
+
y
2
+
x
y
−
3
x
−
3
y
+
3
x
2
+y
2
+xy−3x−3y+3

=
(
x
−
1
)
2
+
(
y
−
1
)
2
+
x
y
+
1
−
x
−
y
=(x−1)
2
+(y−1)
2
+xy+1−x−y

=
(
x
−
1
)
2
+
(
y
−
1
)
2
+
(
x
−
1
)
(
y
−
1
)
≥
0
=(x−1)
2
+(y−1)
2
+(x−1)(y−1)≥0

(do
a
2
+
a
b
+
b
2
=
1
4
(
4
a
2
+
4
a
b
+
4
b
2
)
=
1
4
(
2
a
+
b
)
2
+
3
4
b
2
≥
0
a
2
+ab+b
2
=
4
1

(4a
2
+4ab+4b
2
)=
4
1

(2a+b)
2
+
4
3

b
2
≥0)

1) Có
a
2
−
a
b
+
b
2
=
1
4
(
4
a
2
−
4
a
b
+
4
b
2
)
=
1
4
(
2
a
−
b
)
2
+
3
4
b
2
≥
0
a
2
−ab+b
2
=
4
1

(4a
2
−4ab+4b
2
)=
4
1

(2a−b)
2
+
4
3

b
2
≥0.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
{
b
=
0
2
a
−
b
=
0
{


b=0
2a−b=0



hay
a
=
b
=
0
a=b=0.

2) Có
a
2
−
a
b
+
b
2
=
1
4
(
4
a
2
−
4
a
b
+
4
b
2
)
a
2
−ab+b
2
=
4
1

(4a
2
−4ab+4b
2
)

=
1
4
(
a
+
b
)
2
+
3
4
(
a
−
b
)
2
≥
1
4
(
a
+
b
)
2
=
4
1

(a+b)
2
+
4
3

(a−b)
2
≥
4
1

(a+b)
2


Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a
=
b
a=b.