Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.

Tứ giác ABCD có $\widehat{B} = \widehat{D} = 90^\circ$.

Gọi O là trung điểm của AC.

Ta có:

* Tam giác ABC vuông tại B, O là trung điểm AC nên OA = OB = OC = $\frac{1}{2}$AC.
* Tam giác ADC vuông tại D, O là trung điểm AC nên OA = OD = OC = $\frac{1}{2}$AC.

Từ đó suy ra OA = OB = OC = OD.  Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn tâm O, bán kính $\frac{1}{2}$AC.

So sánh độ dài AC và BD.

Vì ABCD là tứ giác nội tiếp nên theo định lý Ptolemy, ta có:

AC  BD = AB  CD + AD * BC

Trong hình vẽ, ta thấy AC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD.  BD là một dây cung của đường tròn đó.  Do đó, AC > BD.

Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.  Vì BB' và CC' là đường cao nên B', C' lần lượt nằm trên AC và AB.

Ta có O là trung điểm của BC. Theo tính chất đường trung bình trong tam giác, ta có B'C' là đường trung bình của tam giác HBC. Do đó, B'C' = 1/2 HC.

Mặt khác, trong tam giác vuông BB'C, ta có BC là cạnh huyền, nên BC > B'C.

Vì B'C' = 1/2 HC và HC < BC, nên B'C' < 1/2 BC < BC.

Vậy BC > B'C'.

 Lời giải: 
   - Gọi \(d\) là khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(MN\).
   - Theo tính chất của hình học, đường vuông góc từ tâm \(O\) đến dây \(MN\) sẽ chia dây \(MN\) thành 2 phần bằng nhau. Do đó, độ dài mỗi đoạn sẽ là:
     \[
     \frac{MN}{2} = \frac{R}{2}.
     \]
   - Tam giác vuông hình thành có các cạnh:
     - Đường kính \(R\) là cạnh huyền.
     - \(d\) là đường cao từ tâm xuống dây.
     - Một nửa dây \(MN\) là đáy của tam giác (\(\frac{R}{2}\)).
   Trong tam giác vuông, theo định lý Py-ta-go ta có:
   \[
   R^2 = d^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2.
   \]

   Rút gọn phương trình:
   \[
   R^2 = d^2 + \frac{R^2}{4}.
   \]

   Chuyển vế:
   \[
   d^2 = R^2 - \frac{R^2}{4}.
   \]

   Rút gọn:
   \[
   d^2 = \frac{4R^2 - R^2}{4} = \frac{3R^2}{4}.
   \]

   Lấy căn bậc hai hai vế:
   \[
   d = \sqrt{\frac{3R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{3}}{2}.
   \]
   Khoảng cách từ tâm \(O\) đến dây \(MN\) là:
   \[
   d = \frac{R\sqrt{3}}{2}.
   \]

Vậy: \(\boxed{\frac{R\sqrt{3}}{2}}\).

   Đường tròn \((O; 10)\) có bán kính \(R = 10\).
   - Điểm \(A\) bất kỳ trên đường tròn nên \(OA = 10\).
   Gọi trung điểm của \(OA\) là \(I\), do đó:
     \[
     OI = IA = \frac{OA}{2} = \frac{10}{2} = 5.
     \]
   Dây \(MN\) vuông góc với \(OA\) tại \(I\). Điều này có nghĩa:
     \(I\) là trung điểm và đường trung trực của dây \(MN\).

   Trong tam giác \(OMN\), \(OI\) (bằng \(5\)) là đoạn vuông góc hạ từ \(O\) xuống dây \(MN\), tạo thành hai đoạn bằng nhau \(MI = IN\).
    Dùng định lý Pythagore trong tam giác vuông \(OIM\):
     \[
     OM^2 = OI^2 + MI^2.
     \]
     Trong đó, \(OM = R = 10\) và \(OI = 5\). Suy ra:
     \[
     MI^2 = OM^2 - OI^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75.
     \]
     Do đó:
     \[
     MI = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}.
     \]
   - Vì \(MN = 2 \times MI\), nên:
     \[
     MN = 2 \times 5\sqrt{3} = 10\sqrt{3}.
     \]
   Vậy dộ dài của dây \(MN\) là:
   \[
   MN = 10\sqrt{3}.
   \]