$x^2+xy+2023x+2022y+2023=0$

$x^2+xy+x+2022x+2022y+2022+1=0$

$x(x+y+1)+2022(x+y+1)=-1$

$(x+2022)(x+y+1)=-1$

$x+2022=1$ hoặc $x+y+1=-1$

$x+2022=-1$ hoặc $x+y+1=1$

$x=-2021$ và $y=2019$ hoặc $x=-2023$ và $y=2023$

Vậy $(x;y)\in \{(-2021;2019);(-2023;2023)\}$.

a) Xét tứ giác $AEDF$ có:

$DE$ // $AF$ (do $DE$ // $AB$);

$DF$ // $AE$ (do $DF$ // $AC)$.

Suy ra $AEDF$ là hình bình hành (DHNB)

Mà đường chéo $AD$ là tia phân giác của $\widehat{FAE}$ (gt)

Nên $AEDF$ là hình thoi (DHNB).

b) Vì $AEDF$ là hình thoi (cmt) nên $DE$ // $AF$; $DE=AF$ (tính chất)

Mà $AF=GF$ (gt) ; $G$ thuộc tia đối của tia $FA$ (gt) nên $DE=GF$; $DE$ // $DF$ 

Xét tứ giác $EFGD$ có: $DE=GF$ (cmt); $DE$ // $GF$ (cmt)

Vậy $EFGD$ là hình bình hành.

c) Theo bài ra, $G$ thuộc tia đối của tia $FA$ và $FA=FG$ suy ra $F$ là trung điểm của $AG$

Ta có: $AG=2AF$; $ID=2DF$

Mà $AF=DF$ (do $AEDF$ là hình thoi) suy ra $AG=ID$

Xét tứ giác $ADGI$ có:

Hai đường chéo $AG$ và $ID$ cắt nhau tại trung điểm $F$ của mỗi đường;

Suy ra $ADGI$ là hình bình hành (DHNB)

Lại có $AG=ID$ (cmt) suy ra $ADGI$ là hình chữ nhật (DHNB)

$GD$ // $IA$ suy ra $GD$ // $AK$ ($A,I,K$ thẳng hàng)

Xét tứ giác $AKDG$ có: $GD$ // $AK$ (cmt) ; $DK$ // $AG($ do $DE$ // $AF)$ 

Suy ra $AKDG$ là hình bình hành (DHNB) 

Khi đó hai đường chéo $AD$ và $GK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường 

Mà $O$ là trung điểm của $AD$ (do $O$ là giao điểm của hai đường chéo trong hình thoi $AEDF)$ 

Vậy $O$ là trung điểm của $GK$.

. Đổi: $100$ cm $=10$ dm.

Thể tích của hình chóp tứ giác đều đó là:

   $V=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}.S^{đ}.h=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}.30.10=100$ (dm${}^3$) 

2. Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d^1$ và $d^2$:

$x+4=-x+4$ suy ra $2x=0$ nên $x=0$.

Thay $x=0$ vào một trong hai hàm số của $d^1$ và $d^2$ ta tìm được $y=4$.

Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng thẳng $d^1$ và $d^2$ là $(0;4)$.

a) $x^2-3x=0$

$x^2-3x=0$ suy ra $x(x-3)=0$

TH1: $x=0$

TH2: $x-3=0$ hay $x=3$.

b) $x^2-6x+8=0$

$x^2-6x+8=0$

$\left(x^2-4x\right)-(2x-8)=0$

$(x-4)(x-2)=0$

TH1: $x-4=0$ suy ra $x=4$

TH2: $x-2=0$ suy ra $x=2$

Vậy $x=4$ hoặc $x=2$.

a) $\left(6x^3{y}^2-27x^{3}y\right):3xy=2x^{2}y-9x^2$.

b) $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3^2}{x}^4\right).\left(3y{x}^5\right)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{9}.3\right)\left(x^4\cdot x^5\right)y=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}{x}^{9}y$.

c) $\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{x^2-4}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{x-2}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{x+2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2}{(x-2)(x+2)}+\genfrac{}{}{0ex}{}{x+2}{(x-2)(x+2)}+\genfrac{}{}{0ex}{}{x-2}{(x-2)(x+2)}=\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2+x+2+x-2}{(x-2)(x+2)}=\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2+2x}{(x-2)(x+2)}=\genfrac{}{}{0ex}{}{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x-2}$.

d) $\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{x-y}-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x-1}-\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{y-x}\right)-\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{-2}{x+y}-\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x-1}\right)=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{x-y}-\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x-1}+\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{y-x}+\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{x+y}+\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x-1}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{x-y}+\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{y-x}\right)+\left(-\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x-1}+\genfrac{}{}{0ex}{}{x}{x-1}\right)+\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{x+y}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{x+y}$.

Từ $x+y+z=0$ suy ra $x+y=-z$

$x^2+2xy+y^2=z^2$

$x^2+y^2-z^2=-2xy$.

Tương tự ta có: $y^2+z^2-x^2=-2yz$ và $z^2+x^2-y^2=-2zx$.

Do đó $A=\genfrac{}{}{0ex}{}{xy}{-2xy}+\genfrac{}{}{0ex}{}{yz}{-2yz}+\genfrac{}{}{0ex}{}{zx}{-2zx}=-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}=-\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}$.

Vậy $A=-\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}$.

a) $\Delta ABC$ vuông tại $A$ suy ra $\widehat{BAC}=90^{\circ }$ suy ra $\widehat{DAE}=90^{\circ }$.

Do $HD\perp AB$ suy ra $\widehat{HDA}=90^{\circ }$; $HE\perp AC$ suy ra $\widehat{HEA}=90^{\circ }$.

Tứ giác $ADHE$ có $\widehat{DAE}=\widehat{HDA}=\widehat{HEA}=90^{\circ }$ suy ra tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật. 

b) Do $\Delta AHD$ vuông tại $D$, áp dụng định lí Pythagore suy ra:

$A{H}^2=A{D}^2+D{H}^2$

$25=16+D{H}^2$

$D{H}^2=9$ nên $DH=3$ cm.

Do $ADHE$ là hình chữ nhật suy ra $S^{ADHE}=AD.DH=4.3=12$ (cm${}^2$).

Vì đồ thị hàm số $y=ax+b$ đi qua điểm $A\left(-1;2\right)$ nên ta có:

   $2=-1.a+b$ suy ra $-a+b=2$

Vi đồ thị hàm số $y=ax+b$ đi qua điểm $B\left(1;4\right)$ nên ta có:

   $4=1.a+b$ suy ra $a+b=4\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta tìm được $a=1;b=3$

Vậy hàm số cần tìm là $y=x+3$.

a) Thay $x=2$ (thỏa mãn điều kiện xác định) vào $Q=\genfrac{}{}{0ex}{}{x+1}{x^2-9}$, ta được:

$Q=\genfrac{}{}{0ex}{}{x+1}{x^2-9}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2+1}{2^2-9}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{-5}=-\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{5}$.

b) $P=\genfrac{}{}{0ex}{}{2x^2-1}{x(x+1)}-\genfrac{}{}{0ex}{}{(x-1)(x+1)}{x(x+1)}+\genfrac{}{}{0ex}{}{3x}{x(x+1)}$

$P=\genfrac{}{}{0ex}{}{2x^2-1-\left(x^2-1\right)+3x}{x(x+1)}$

$P=\genfrac{}{}{0ex}{}{2x^2-1-x^2+1+3x}{x(x+1)}$

$P=\genfrac{}{}{0ex}{}{x^2+3x}{x(x+1)}=\genfrac{}{}{0ex}{}{x+3}{x+1}$.

c) Ta có $M=P.Q=\genfrac{}{}{0ex}{}{x+3}{x+1}.\genfrac{}{}{0ex}{}{x+1}{x^2-9}=\genfrac{}{}{0ex}{}{x+3}{(x-3)(x+3)}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{x-3}$

$M=\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{2}$ suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{x-3}=\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{2}$

$x-3=-2$

$x=1$.

Vậy với $x=1$ thì$M=\genfrac{}{}{0ex}{}{-1}{2}$.

a) $5(x+2y)-15x(x+2y)=5(x+2y).(1-3x)$.

b) $4x^2-12x+9=\left[{(2x)}^2-2.2x.3+3^2\right]={(2x-3)}^2$.

c) ${(3x-2)}^3-3(x-4)(x+4)+{(x-3)}^3-(x+1)\left(x^2-x+1\right)$

$=27x^3-54x^2+36x-8-3\left(x^2-16\right)+x^3-9x^2+27x-27-\left(x^3+1\right)$

$=\left(27x^3+x^3-x^3\right)+\left(-54x^2-3x^2-9x^2\right)+(36x+27x)+(-8+48-27-1)$

$=27x^3-66x^2+63x+12$.