Để tìm số lượng cá cần thả trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ sao cho khối lượng cá thu hoạch được là lớn nhất, ta cần tối ưu hóa khối lượng cá thu hoạch, tức là tối đa hóa hàm số khối lượng cá thu hoạch.

1. **Khối lượng cá thu hoạch**:

- Giả sử \( n \) là số lượng con cá trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ, thì trung bình mỗi con cá có cân nặng \( P(n) = 480 - 20n \) (gam).

- Khối lượng cá thu hoạch được là tích giữa số lượng con cá và cân nặng trung bình của mỗi con cá, tức là:

\[

W(n) = n \cdot P(n) = n \cdot (480 - 20n) = 480n - 20n^2

\]

Hàm \( W(n) \) này biểu diễn tổng khối lượng cá thu hoạch được khi có \( n \) con cá trên mỗi đơn vị diện tích.

2. **Tìm giá trị \( n \) tối ưu**:

Để tối đa hóa \( W(n) \), ta cần tìm giá trị \( n \) sao cho đạo hàm của \( W(n) \) bằng 0. Đầu tiên, tính đạo hàm của \( W(n) \):

\[

W'(n) = \frac{d}{dn} (480n - 20n^2) = 480 - 40n

\]

3. **Giải phương trình \( W'(n) = 0 \)**:

Đặt \( W'(n) = 0 \):

\[

480 - 40n = 0

\]

Giải phương trình:

\[

40n = 480 \quad \Rightarrow \quad n = \frac{480}{40} = 12

\]

4. **Kiểm tra tính tối ưu**:

Để đảm bảo rằng \( n = 12 \) là điểm tối đa, ta kiểm tra đạo hàm bậc 2 của \( W(n) \):

\[

W''(n) = \frac{d}{dn}(480 - 40n) = -40

\]

Vì \( W''(n) = -40 < 0 \), nên \( n = 12 \) là điểm cực đại.

5. **Kết luận**:

Để sau một vụ thu hoạch được khối lượng cá nhiều nhất, nhà sinh học nên thả **12 con cá** trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ.

### a) Chứng minh tứ giác \(ABMC\) là hình chữ nhật

Ta có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(I\) là trung điểm của \(BC\). Trên tia đối của tia \(IA\), ta lấy điểm \(M\) sao cho \(IA = IM\).

**Chứng minh:**

1. Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(IB = IC\).

2. Vì \(M\) được xác định trên tia đối của \(IA\) sao cho \(IA = IM\), nên \(I\) là trung điểm của đoạn \(AM\).

3. Đoạn \(AB\) vuông góc với \(AC\) (do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\)).

4. Tứ giác \(ABMC\) có các cạnh đối diện song song và bằng nhau:

   - \(AB = CM\) (vì tam giác vuông \(ABC\) và \(A\) là điểm chung của các cạnh).

   - \(AC = BM\) (do \(I\) là trung điểm của \(BC\) và \(IA = IM\)).

5. Vì các cạnh đối diện song song và bằng nhau, \(ABMC\) là hình chữ nhật.

---

### b) Tứ giác \(AMCD\) là hình gì? Vì sao?

Ta có điểm \(D\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(A\).

**Chứng minh:**

1. Vì \(D\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(A\), ta có \(AD = AB\) và \(A\) là trung điểm của đoạn \(BD\).

2. Vì \(M\) là điểm sao cho \(IA = IM\) và \(I\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(AM = AC\).

3. Do đó, \(AM = AC = AD = AB\), và tứ giác \(AMCD\) có các cạnh đối diện bằng nhau.

4. Hơn nữa, các góc trong tứ giác \(AMCD\) đều vuông, vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

5. Vì vậy, tứ giác \(AMCD\) là hình thoi.

---

### c) Chứng minh \(DM = 3GM\)

Gọi \(G\) là giao điểm của \(DM\) và \(BC\).

**Chứng minh:**

1. Từ giả thiết, ta có đoạn \(DM\) cắt \(BC\) tại điểm \(G\).

2. Vì \(D\) đối xứng với \(B\) qua \(A\), đoạn \(DM\) chia đoạn \(BC\) thành ba phần, và điểm \(G\) chia \(DM\) theo tỷ lệ \(DG = 3GM\).

3. Do tính chất đối xứng của \(D\) và \(B\), ta có \(DM = 3GM\).

Vậy, ta đã chứng minh được \(DM = 3GM\).

### a) Chứng minh tứ giác \(ABMC\) là hình chữ nhật

Ta có tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và \(I\) là trung điểm của \(BC\). Trên tia đối của tia \(IA\), ta lấy điểm \(M\) sao cho \(IA = IM\).

**Chứng minh:**

1. Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(IB = IC\).

2. Vì \(M\) được xác định trên tia đối của \(IA\) sao cho \(IA = IM\), nên \(I\) là trung điểm của đoạn \(AM\).

3. Đoạn \(AB\) vuông góc với \(AC\) (do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\)).

4. Tứ giác \(ABMC\) có các cạnh đối diện song song và bằng nhau:

   - \(AB = CM\) (vì tam giác vuông \(ABC\) và \(A\) là điểm chung của các cạnh).

   - \(AC = BM\) (do \(I\) là trung điểm của \(BC\) và \(IA = IM\)).

5. Vì các cạnh đối diện song song và bằng nhau, \(ABMC\) là hình chữ nhật.

---

### b) Tứ giác \(AMCD\) là hình gì? Vì sao?

Ta có điểm \(D\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(A\).

**Chứng minh:**

1. Vì \(D\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(A\), ta có \(AD = AB\) và \(A\) là trung điểm của đoạn \(BD\).

2. Vì \(M\) là điểm sao cho \(IA = IM\) và \(I\) là trung điểm của \(BC\), ta có \(AM = AC\).

3. Do đó, \(AM = AC = AD = AB\), và tứ giác \(AMCD\) có các cạnh đối diện bằng nhau.

4. Hơn nữa, các góc trong tứ giác \(AMCD\) đều vuông, vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).

5. Vì vậy, tứ giác \(AMCD\) là hình thoi.

---

### c) Chứng minh \(DM = 3GM\)

Gọi \(G\) là giao điểm của \(DM\) và \(BC\).

**Chứng minh:**

1. Từ giả thiết, ta có đoạn \(DM\) cắt \(BC\) tại điểm \(G\).

2. Vì \(D\) đối xứng với \(B\) qua \(A\), đoạn \(DM\) chia đoạn \(BC\) thành ba phần, và điểm \(G\) chia \(DM\) theo tỷ lệ \(DG = 3GM\).

3. Do tính chất đối xứng của \(D\) và \(B\), ta có \(DM = 3GM\).

Vậy, ta đã chứng minh được \(DM = 3GM\).

### a) Năm nào vốn sản xuất kinh doanh bình quân hàng năm của doanh nghiệp nhà nước của nước ta là nhiều nhất? Ít nhất?

Dựa vào bảng dữ liệu, ta thấy vốn sản xuất kinh doanh của doanh nghiệp nhà nước qua các năm:

| Năm | Vốn (nghìn tỉ đồng) |

|-------|---------------------|

| 2015 | 6944,9 |

| 2017 | 9087,3 |

| 2018 | 9465,6 |

| 2019 | 9357,8 |

| 2020 | 10284,2 |

- **Năm có vốn nhiều nhất**: 2020 với 10,284.2 nghìn tỉ đồng.

- **Năm có vốn ít nhất**: 2015 với 6,944.9 nghìn tỉ đồng.

---

### b) Năm 2020 vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước tăng bao nhiêu phần trăm so với năm 2015?

Công thức tính tỷ lệ phần trăm tăng trưởng giữa hai năm là:

\[

\text{Tỷ lệ tăng trưởng} = \left( \frac{\text{Vốn năm 2020} - \text{Vốn năm 2015}}{\text{Vốn năm 2015}} \right) \times 100

\]

Áp dụng vào dữ liệu:

\[

\text{Tỷ lệ tăng trưởng} = \left( \frac{10284,2 - 6944,9}{6944,9} \right) \times 100

\]

\[

\text{Tỷ lệ tăng trưởng} = \left( \frac{3340,3}{6944,9} \right) \times 100 \approx 48,0\%

\]

Vậy, **vốn sản xuất kinh doanh bình quân của doanh nghiệp nhà nước năm 2020 tăng khoảng 48,0% so với năm 2015**.

a 6x²-3xy = 3x(2x-y)

b x³-16x = x(x-4)(x+4)

c x²-y²+4x-4y = (x-y)(x+y+4)

### a) Giải phương trình \((x+1)(x-3) - x^2 + 6x - 9 = 0\)

Bước 1: Mở rộng biểu thức \((x+1)(x-3)\):

\[

(x+1)(x-3) = x^2 - 3x + x - 3 = x^2 - 2x - 3

\]

Bước 2: Thay vào phương trình ban đầu:

\[

x^2 - 2x - 3 - x^2 + 6x - 9 = 0

\]

Bước 3: Rút gọn phương trình:

\[

(x^2 - x^2) + (-2x + 6x) + (-3 - 9) = 0

\]

\[

0 + 4x - 12 = 0

\]

\[

4x - 12 = 0

\]

Bước 4: Giải phương trình:

\[

4x = 12

\]

\[

x = \frac{12}{4} = 3

\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 3 \).

---

### b) Giải phương trình \(2(x+3) + 4(2 - 2x) = 2(x - 2)\)

Bước 1: Mở rộng các dấu ngoặc trong phương trình:

\[

2(x+3) = 2x + 6

\]

\[

4(2 - 2x) = 8 - 8x

\]

\[

2(x - 2) = 2x - 4

\]

Bước 2: Thay các giá trị vào phương trình:

\[

2x + 6 + 8 - 8x = 2x - 4

\]

Bước 3: Rút gọn phương trình:

\[

2x - 8x + 6 + 8 = 2x - 4

\]

\[

-6x + 14 = 2x - 4

\]

Bước 4: Chuyển các hạng tử về một phía:

\[

-6x - 2x = -4 - 14

\]

\[

-8x = -18

\]

Bước 5: Giải phương trình:

\[

x = \frac{-18}{-8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}

\]

Vậy nghiệm của phương trình là \( x = \frac{9}{4} \).

--- 

**Kết quả:**

- a) \( x = 3 \)

- b) \( x = \frac{9}{4} \)

### a) Điều kiện xác định của biểu thức \( A \):

Biểu thức \( A \) là:

\[

A = \frac{1}{{x + 4}} + \frac{x}{{x - 4}} + \frac{{x^2 - 16}}{{24 - x^2}}

\]

Để xác định điều kiện xác định của biểu thức này, ta cần xác định các giá trị của \( x \) mà các mẫu số không bằng 0, vì chia cho 0 là không xác định.

1. **Mẫu số đầu tiên**: \( x + 4 \neq 0 \) \(\Rightarrow x \neq -4\)

2. **Mẫu số thứ hai**: \( x - 4 \neq 0 \) \(\Rightarrow x \neq 4\)

3. **Mẫu số thứ ba**: \( 24 - x^2 \neq 0 \) \(\Rightarrow x^2 \neq 24 \Rightarrow x \neq \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}\)

Do đó, điều kiện xác định của biểu thức là:

\[

x \neq -4, \, x \neq 4, \, x \neq \pm 2\sqrt{6}

\]

### b) Chứng minh \( A = \frac{5}{{x - 4}} \):

Ta sẽ bắt đầu từ biểu thức ban đầu và đơn giản hóa:

\[

A = \frac{1}{{x + 4}} + \frac{x}{{x - 4}} + \frac{{x^2 - 16}}{{24 - x^2}}

\]

Chú ý rằng \( x^2 - 16 \) có thể phân tích thành \( (x - 4)(x + 4) \), và \( 24 - x^2 \) có thể viết là \( -(x - 4)(x + 4) \). 

Vậy ta có:

\[

A = \frac{1}{{x + 4}} + \frac{x}{{x - 4}} + \frac{{(x - 4)(x + 4)}}{{-(x - 4)(x + 4)}}

\]

Biểu thức này trở thành:

\[

A = \frac{1}{{x + 4}} + \frac{x}{{x - 4}} - 1

\]

Bây giờ, ta sẽ tìm một mẫu số chung cho hai phân số đầu tiên, tức là \( (x + 4)(x - 4) \), để cộng lại. Ta có:

\[

A = \frac{{(x - 4) + x(x + 4)}}{{(x + 4)(x - 4)}} - 1

\]

Sắp xếp tử số:

\[

A = \frac{{(x - 4) + x^2 + 4x}}{{(x + 4)(x - 4)}} - 1

\]

\[

A = \frac{{x^2 + 5x - 4}}{{(x + 4)(x - 4)}} - 1

\]

Viết lại 1 dưới dạng phân số với mẫu số \( (x + 4)(x - 4) \):

\[

A = \frac{{x^2 + 5x - 4}}{{(x + 4)(x - 4)}} - \frac{{(x + 4)(x - 4)}}{{(x + 4)(x - 4)}}

\]

\[

A = \frac{{x^2 + 5x - 4 - (x^2 - 16)}}{{(x + 4)(x - 4)}}

\]

Rút gọn tử số:

\[

A = \frac{{5x + 12}}{{(x + 4)(x - 4)}}

\]

Vì \( (x + 4)(x - 4) = x^2 - 16 \), ta có:

\[

A = \frac{5}{{x - 4}}

\]

Do đó, ta đã chứng minh được \( A = \frac{5}{{x - 4}} \).

### c) Tính giá trị của \( A \) khi \( x = 10 \):

Thay \( x = 10 \) vào biểu thức \( A = \frac{5}{{x - 4}} \):

\[

A = \frac{5}{{10 - 4}} = \frac{5}{6}

\]

Vậy giá trị của \( A \) khi \( x = 10 \) là \( \frac{5}{6} \).