Nhân hai vế bất đẳng thức cần chứng minh với x + y ta được bất đẳng thức tương đương là x ^ 5 + y ^ 5 > (x ^ 2 + y ^ 2)(x + y) (1)

Từ giả thiết x > √2 suy ra x ^ 2 > 2 suy ra x ^ 5 > 2x ^ 3 từ đó x ^ 5 + y ^ 5 > 2(x ^ 3 + y ^ 3)

= 2(x ^ 2 - xy + y ^ 2)(x + y)

= (x - y) ^ 2 + (x ^ 2 + y ^ 2)(x + y) >= (x ^ 2 + y ^ 2)(x + y) suy ra (1), điều phải chứng minh.

Chú ý rằng 1 + 4 = 2 + 3 ta đặt 1) (x - 4) = x ^ 2 - 5x + 4 thì t =(x- (x - 2)(x - 3) = x ^ 2 - 5x + 6 = t + 2 từ đó (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + 1 = t(t + 2) + 1 = t ^ 2 + 2t + 1 =(t+ 1)^ 2 >= 0

Dẳng thức chỉ xảy ra khi t = - 1

hay x ^ 2 - 5x + 4 = - 1 x ^ 2 - 5x + 5 = 0

x = 5+√5/2 hoặc x=5-√5/2

Nếu x < 1 thì x ^ 8 - x ^ 7 + x ^ 2 - x + 1 = x ^ 8 + x ^ 2 * (1 - x ^ 5) + (1 - x) > 0 Nếu x >= 1 thì x ^ 8 - x ^ 7 + x ^ 2 - x + 1 = x ^ 7 * (x - 1) + x(x - 1) + 1 > 0 .

Ta có x ^ 2 + y ^ 2 + xy - 3x - 3y + 3

= (x - 1) ^ 2 + (y - 1) ^ 2 + xy + 1 - x - y = (x - 1) ^ 2 + (y - 1) ^ 2 +(x-1)(y- 1 )>=0

(do a ^ 2 + ab + b ^ 2 = 1 4 (4a^ 2 +4ab+ 4b^ 2 )= 1/4 * (2a + b) ^ 2 + 3/4 * b ^ 2 >= 0 )