a) \(\Delta C E F \sim \Delta C B A\) (g-g) suy ra  \(\frac{C F}{C E} = \frac{A C}{B C}\) nên

\(\Delta C F A \sim \Delta C E B\) (c-g-c) suy ra \(\frac{A F}{B E} = \frac{A C}{B C}\) hay \(\frac{A F}{B E} = cos ⁡ C\).

Vậy \(A F = B E . cos ⁡ C\).

b) Vì \(\Delta A B C\) có \(\hat{A} = 9 0^{\circ}\) nên  \(A B = sin ⁡ C . B C = 0 , 6.10 = 6\) cm.

Suy ra \(A C = 8\) cm nên \(A E = E C = 4\) cm.

Mà \(E F = sin ⁡ C . E C = 0 , 6.4 = 2 , 4\) cm.

Suy ra \(F C = 3 , 2\) cm (Định lí Pythagore)

\(S_{A B F E} \&\text{nbsp}; = S_{A B C} \&\text{nbsp}; - S_{C F E} \&\text{nbsp}; = \frac{1}{2} . \left(\right. A B . A C - E F . F C \left.\right) = \frac{1}{2} \left(\right. 6 \cdot 8 - 2 , 4 \cdot 3 , 2 \left.\right) = 20 , 16\) (cm\(^{2}\)).

Gọi \(x\), \(y\) (triệu đồng) lần lượt là số tiền hai khoản đầu tư của bác Phương (\(x , y > 0\))

Tổng số tiền bác Phương đầu tư là \(800\) triệu đồng nên ta có phương trình: \(x + y = 800\) (1)

Lãi suất cho khoản đầu tư thứ nhất là \(6 \%\)/năm và khoản đầu tư thứ hai là \(8 \%\)/năm, nên ta có phương trình:

\(0 , 06. x + 0 , 08. y = 54\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình \(\begin{cases}x+y=800\\ 0,06.x+0,08.y=54\end{cases}\)

Giải hệ phương trình ta được \(\begin{cases}x=500\\ y=300\end{cases}\) (TMĐK)

Vậy bác Phương đầu tư cho khoản thứ nhất và khoản thứ hai lần lượt là \(500\) triệu đồng và \(300\) triệu đồng.

a) \(\left(3x-2\right)\left(2x+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left[\begin{array}{l}3x-2=0\\ 2x+1=0\end{array}\right.\)
\(\left[\begin{array}{l}3x=2\\ 2x=-1\end{array}\right.\)
\(\left[\begin{array}{l}x=\frac23\\ x=-\frac12\end{array}\right.\)
Vậy, để \(\left(3x-2\right)\left(2x+1\right)=0\) thì \(x=\left\lbrace2;-1\right\rbrace\) .
b) \(\begin{cases}2x-y=4\\ x+2y=-3\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=2x-4\\ x+2y=-3\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=2x-4\\ x+2\left(2x-4\right)=-3\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=2x-4\\ x+4x-8=-3\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=2x-4\\ 5x-8=-3\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=2x-4\\ 5x=-3+8\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=2x-4\\ 5x=5\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=2x-4\\ x=1\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=2\cdot1-3\\ x=1\end{cases}\)
\(\begin{cases}y=-1\\ x=1\end{cases}\)
Vậy, để hệ phương trình \(\begin{cases}2x-y=4\\ x+2y=-3\end{cases}\) thì \(\left(x,y\right)=\left(1;-1\right)\) .

a) Gọi số tuổi của bạn An là \(x\) (tuổi, \(x \in \mathbb{N}^{*}\).)

Bất đẳng thức để mô tả bạn An ít nhất \(18\) tuổi mới được đi bầu cử đại biểu Quốc hội là: \(x \geq 18\).

b) Gọi khối lượng thang máy chở được là \(a\) (kg, \(a > 0\).)

Bất đẳng thức để mô tả một thang máy chở được tối đa \(700\) kg là: \(0 < a \leq 700\).

c) Gọi số tiền mua hàng là \(x\) (triệu đồng, \(x > 0\).)

Bất đẳng thức để mô tả bạn phải mua hàng có tổng trị giá ít nhất \(1\) triệu đồng mới được giảm giá là \(x \geq 1\).

d) \(2 x - 3 > - 7 x + 2\).

I love city life for several key reasons. First, convenience is everywhere; modern supermarkets, shopping malls, fast public transport, and great healthcare facilities are always just a few minutes away. Second, the city is full of vibrant entertainment and educational options, including theaters, gaming arcades, libraries, and diverse restaurants to explore with friends. Third, living in a city provides better educational resources and career opportunities due to top-tier schools and tech-driven institutions. In conclusion, despite the fast pace, I love city life because of its energy, convenience, and endless opportunities.

a) \(\Delta B K C \sim \Delta D H C\) (g. g)

Vì \(\begin{cases}\hat{D}=\hat{B}\\ \hat{K}=\hat{H}=90^{\circ}\end{cases}^{}\) 

\(\Rightarrow\frac{K C}{H C}=\frac{B C}{D C}\) hay \(\frac{K C}{H C} = \frac{B C}{A B}\) (*)

Xét tứ giác \(A K C H\) có: \(\hat{A} + \hat{H C K} = 18 0^{\circ}\);

\(\hat{A} + \hat{A B C} = 18 0^{\circ}\)

\(\Rightarrow\hat{A B C}=\hat{H C K}\) (**)

Từ (*) và (**) suy ra: \(\Delta C K H \sim \Delta B C A\) (c-g-c)

b) \(\Delta C K H \sim \Delta B C A\) 
\(\Rightarrow\frac{H K}{A C}=\frac{C K}{B C}\)

\(\Rightarrow HK=AC.\frac{C K}{B C}=AC.sin⁡\hat{K B C}\) 
mà \(\hat{B A D} = \hat{K B C}\) (cặp góc đồng vị)
\(\Rightarrow HK=AC.sin⁡\hat{B A D}\).

a) Ta có \(\left(\right. 2 x + 1 \left.\right)^{2} - 9 x^{2} = 0\)

\(\left(\right. 2 x + 1 - 3 x \left.\right) \left(\right. 2 x + 1 + 3 x \left.\right) = 0\)

\(\left(\right. - x + 1 \left.\right) \left(\right. 5 x + 1 \left.\right) = 0\)

+ Giải phương trình \(- x + 1 = 0\)

\(x = 1\)

+ Giải phương trình \(5 x + 1 = 0\)

\(x = \frac{- 1}{5}\)

Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = \frac{- 1}{5}\).

b) Ta có: \(\begin{cases}5x-4y=3\\ 2x+y=4\end{cases}\)

\(\begin{cases}5x-4y=3\\ 8x+4y=16\end{cases}\)

\(\begin{cases}13x=19\\ 2x+y=4\end{cases}\)

\(\begin{cases}x=\frac{19}{13}\\ y=\frac{14}{13}\end{cases}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm \(\left(\right.x;y\left.\right)=\left(\right.\frac{19}{13};\frac{14}{13}\left.\right)\).

Gọi tốc độ của ca nô khi nước yên lặng là: \(x\) (km/h) (\(x > 6\) ).

Tốc độ ca nô đi xuôi dòng là: \(x + 6\) (km/h)

Ta có :
\(x \leq 40\) 
\(\Rightarrow x+6\leq40+6\)
\(\Rightarrow x+6\leq46\)

Gọi \(s\) (km) là quãng đường ca nô đi được trong \(2\) giờ \(30\) phút \(= 2 , 5\) giờ

Ta có: 
\(s = 2 , 5. \left(\right. x + 6 \left.\right)\) (km).

\(\Rightarrow x+6\leq46\)  
\(\Rightarrow2,5.\left(\right.x+6\left.\right)<2,5.46\) hay \(s \leq 115\)

Vậy quãng đường ca nô đi được trong \(2\) giờ \(30\) phút không vượt quá \(115\) km.

Xét \(\Delta A B C\) vuông tại \(B\), ta có:

\(tan ⁡ \hat{B A C} = \frac{B C}{A B} = \frac{2}{2 , 5} = 0 , 8\) (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

\(\Rightarrow\hat{B A C}\approx38,7^{\circ}\)

Ta có: \(\hat{B A D} = \hat{B A C} + \hat{C A D} = 38 , 7^{\circ} + 2 0^{\circ} = 58 , 7^{\circ}\)

Xét \(\Delta A B D\) vuông tại \(B\), ta có:

\(tan ⁡ \hat{B A D} = \frac{B D}{A B}\) (tỉ số lượng giác của góc nhọn)

\(\Rightarrow BD=AB.tan⁡\hat{B A D}=2,5.tan⁡58,7^{\circ}\approx4,1\) m.

\(C D = B D - B C = 4 , 1 - 2 = 2 , 1\) m.

Vậy độ dài vùng được chiếu sáng trên mặt đất là \(2 , 1\) m.

1)  \(sin⁡35^{\circ}=cos⁡\left(\right.90^{\circ}-35^{\circ}\left.\right)=cos⁡55^{\circ}\);

\(tan ⁡ 2 8^{\circ} = cot ⁡ \left(\right. 9 0^{\circ} - 2 8^{\circ} \left.\right) = cot ⁡ 6 2^{\circ}\).

2) Xét \(\Delta A B C\) vuông tại \(A\), ta có:

\(\begin{cases}BC=20\operatorname{cm} & \\ cos⁡\hat{B}=\frac{A B}{B C}=\frac{A B}{20}=cos⁡36^{\circ} & \end{cases}\operatorname{}\)\(\)

 \(\Rightarrow AB=BC.cos⁡36^{\circ}\approx16,18\operatorname{cm}\)