Lý thuyết SVIP

A. HÀM SỐ MŨ

1. Định nghĩa

Cho số thực dương $a$ khác $1$. Hàm số $y=a^x$ được gọi là hàm số mũ cơ số $a$.

2. Đạo hàm của hàm số mũ

+ Hàm số $y =e^x$ có đạo hàm tại mọi $x$

$(e^x)'=e^x$

+ Hàm số $y=a^x$, ($a>0, a\ne 1$) có đạo hàm tại mọi $x$

$(a^x)'=a^x. \ln a$

+ Chú ý: Đối với các hàm hợp $y=e^{u(x)}$ và $y=a^{u(x)}$, ta có:

$(e^u)'=u'. e^u$;

$(a^u)'=a^u. \ln a. u'$.

Ví dụ 1.

3. Khảo sát hàm số mũ

Xét hàm số $y=a^x$, $(a>0$, $a \ne 1)$

a. Tập xác định $D=\mathbb R$.

b. Sự biến thiên

- Chiều biến thiên:

+ $a>1$: hàm số luôn đồng biến;

+ $0<a<1$: hàm số luôn nghịch biến.

- Tiệm cận: trục $Ox$ là tiệm cận ngang.

d. Đồ thị

+ Đi qua các điểm $(0;1)$, $(1;a)$;

+ Luôn nằm phía trên trục hoành vì $y=a^x>0, \forall x \in \mathbb R$.

+ Dạng đồ thị hàm số

B. HÀM SỐ LÔGARIT

1. Định nghĩa

Cho số thực dương $a$ khác 1. Hàm số $y=\log_a x$ được gọi là hàm số lôgarit cơ số $a$.

2. Đạo hàm của hàm số lôgarit

+ Hàm số $y=\log_a x$, $(a>0, a \ne 1)$ có đạo hàm tại mọi $x>0$ 

$(\log_a x)'= \dfrac1{x \ln a}$.

+ Đặc biệt: $(\ln x)'=\dfrac 1x$

+ Chú ý: Đối với hàm hợp $y= \log_a u(x)$ ta có: $(\log_au)'= \dfrac{u'}{u.\ln a}$.

3. Khảo sát hàm số lôgarit

Xét hàm số $y=\log_a x$, $ (a>0, a \ne 1)$

a. Tập xác định $D= (0; +\infty)$.

b. Sự biến thiên

- Chiều biến thiên:

+ $a>1$: hàm số luôn đồng biến;

+ $0<a<1$: hàm số luôn nghịch biến.

- Tiệm cận: trục $Oy$ là tiệm cận đứng.

d. Đồ thị

+ Đi qua các điểm $(1;0)$, $(a; 1)$;

+ Nằm phía bên phải trục tung.

+ Dạng đồ thị hàm số

C. Liên hệ hàm số mũ và hàm số lũy thừa cùng cơ số

1. Nhận xét

Đồ thị các hàm số $y=a^x$ và $y=\log_a x$, $(a>0, a \ne 1)$ đối xứng nhau qua đường thẳng $y=x$.

2. Đồ thị

$a>1$	$0<a<1$