Các số đặc trưng đo độ phân tán SVIP

1. KHOẢNG BIẾN THIÊN VÀ KHOẢNG TỨ PHÂN VỊ

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: \(x_1\le x_2\le...\le x_n\).

Khoảng biến thiên của một mẫu số liệu, kí hiệu là \(R\), là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó, tức \(R=x_n-x_1.\)

Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là \(\Delta_Q\) là hiệu giữa \(Q_3\) và \(Q_1\), tức là \(\Delta_Q=Q_3-Q_1\)

Ví dụ 1. Cho mẫu số liệu:

Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu này.

Giải 

Giá trị cao nhất và thấp nhất của mẫu số liệu lần lượt là \(8\) và \(4\), do đó khoảng biến thiên là \(R=8-4=4.\)

Ví dụ 2. Cho mẫu số liệu điểm kiểm tra môn Toán của một tổ:

Tìm khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.

Giải

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm

Mẫu số liệu có \(9\) giá trị nên trung vị là số chính giữa, \(Q_2=8\).

\(Q_1=\dfrac{7+7}{2}=7;Q_3=\dfrac{9+9}{2}=9;\)

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là \(\Delta_Q=Q_3-Q_1=9-7=2.\)

Ý nghĩa của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

- Khoảng biến thiên đặc trung cho độ phân tán của toàn bộ mẫu số liệu.

- Khoảng tứ phân vị đặc trưng cho độ phân tán của một nửa các số liệu, có giá trị thuộc đoạn từ \(Q_1\) đến \(Q_3\) trong mẫu.

- Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị rất lớn hoặc rất bé trong mẫu.

Giá trị ngoại lệ

Giá trị ngoại lệ là các giá trị quá nhỏ hay quá lớn so với đa số các giá trị của mẫu. Phần tử \(x\) trong mẫu là giá trị ngoại lệ nếu \(x>Q_3+1,5\Delta_Q\) hoặc \(x< Q_1-1,5\Delta_Q.\)

Ví dụ 3. Một mẫu số liệu có tứ phân vị thứ nhất là \(48\) và tứ phân vị thứ ba là \(76\). Hãy kiểm tra xem trong hai giá trị \(5\) và \(100\) giá trị nào được xem là giá trị ngoại lệ.

Giải

Ta có \(Q_1=48;Q_3=76\Rightarrow\Delta_Q=Q_3-Q_1=76-48=28\) 

Khi đó \(Q_1-1,5.\Delta_Q=6;Q_3+1,5.\Delta_Q=118\)

 nên \(5\) (nhỏ hơn \(6\)) là một giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu.

2. PHƯƠNG SAI VÀ ĐỘ LỆCH CHUẨN

Gỉa sử có mẫu số liệu\(x_1,x_2,...,x_n\)

Phương sai của mẫu số liệu này, kí hiệu là \(S^2\), được tính bởi công thức:

\(S^2=\dfrac{1}{n}\left[\left(x_1-\overline{x}\right)^2+\left(x_2-\overline{x}\right)^2+...+\left(x_n-\overline{x}\right)^2\right]\)trong đó \(\overline{x}\) là số trung bình của mẫu số liệu.

Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu là \(S.\)

Chú ý: \(S^2=\dfrac{1}{n}\left(x_1^2+x^2_2+...+x^2_n\right)-\overline{x}^2.\)

Phương sai hiệu chỉnh, kí hiệu là \(\widehat{s}^2=\dfrac{1}{n-1}\left[\left(x_1-\overline{x}\right)^2+\left(x_2-\overline{x}\right)^2+...+\left(x_n-\overline{x}\right)^2\right]\)

Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn:

- Phương sai là trung bình cộng của các bình phương độ lệch từ mỗi giá trị của mẫu số liệu đến số trung bình.

- Phương sai và độ lệch chuẩn được dùng để đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu quanh số trung bình. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì các giá trị của mẫu càng cách xa nhau (có độ phân tán lớn).

Chú ý: Khi mẫu số liệu được cho bởi bảng tần số

Công thức tính phương sai là: 

\(S^2=\dfrac{1}{n}\left[n_1\left(x_1-\overline{x}\right)^2+n_2\left(x_2-\overline{x}\right)^2+...+n_k\left(x_k-\overline{x}\right)^2\right],\) trong đó  \(n=n_1+n_2+...+n_k.\)

Hay \(S^2=\dfrac{1}{n}\left(n_1x^2_1+n_2x^2_2+...+n_kx^2_k\right)-\overline{x}.\)

Ví dụ 3. Mẫu số liệu sau đây cho biết cân nặng của \(5\) bạn lớp \(10\) (đơn vị kg):

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn cho mẫu số liệu này.

Giải

Số trung bình của mẫu số liệu là

\(\overline{X}=\dfrac{45+48+46+50+48}{5}=47,4\)

Phương sai của mẫu số liệu là

\(s^2=\dfrac{\left(45-47,4\right)^2+\left(48-47,4\right)^2+\left(46-47,4\right)^2+\left(50-47,4\right)^2+\left(48-47,4\right)^2}{5}=3,04\)

Độ lệch chuẩn \(s=\sqrt{s^2}\approx1,74.\)