\(tan^3a+cot^3a=\frac{sin^3a}{cos^3a}+\frac{cos^3a}{sin^3a}\ge2\sqrt{\frac{sin^3a}{cos^3a}.\frac{cos^3a}{sin^3a}}=2\)

 - Giả sử P(x) là đa thức bậc 4 trở lên thì bậc cao nhất của P(x) là axⁿ ( với 0<a<5 và n>=4) thì P(5) =  ax5ⁿ >259  ( trái giả thuyết )(trường hợp này loại)                                                                        - Giả sử P(x) là đa thức bậc 2 trở xuống thì P(x) có 2 dạng:                                                                          + P(x) = ax² + bx + c => P(5) = 25a + 5b +c giả sử a=b=c=4 (hệ số tối đa) => P(5) =124<259                        + P(x) = ax + b => P(5) = 5b +c giả sử a=b=c=4 (hệ số tối đa) => P(5) = 24<259                                           - Vậy chỉ có 1 trường hợp thỏa mãn của P(x) là đa thức đó bậc 3                                                               Ta có: a khác 1 vì cho dù b=c=d=4 (hệ số tối đa) mà a=1 thì P(5)=249<259                                                             a khác 3 vì cho dù b=c=d=1 (hệ số tối thiểu) mà a=3 thì P(5)=406>259                                                           a khác 4 vì cho dù b=c=d=1 (hệ số tối thiểu) mà a=4 thì P(5)=531>259                                                  Do đó a = 2 => P(5) = 250 + 25b + 5c + d = 259 =>25b + 5c +d = 9                                                             b khác 1,2,3,4 vì  khi b bằng các số đó thì 25b + 5c + d > 9 ( c, d>=0)                                                            vậy b = 0 => 5c + d = 9                                                                                                                           c khác 2,3,4 vì khi c bằng các số đó thì 5c +d >9                                                                                         Vậy c=(0,1)                                                                                                                                            

khi c = 0 thì d = 9 (loại vì 9 > 5 )

khi c =1 thì d = 4 (thỏa mãn đề bài)

Vậy P(x) = 2x³ + x + 4 => P(2049) = 17205049351

vậy p(2021)=bao nhiêu

Điều kiện: x\(\ge\) -3

PT <=>  \(\left(\sqrt{x+8}+\sqrt{x+3}\right)\left(\sqrt{x+8}-\sqrt{x+3}\right)\left(\sqrt{x^2+11x+24}+1\right)=5\left(\sqrt{x+8}+\sqrt{x+3}\right)\)

<=> \(\left(x+8-x-3\right)\left(\sqrt{x^2+11x+24}+1\right)=5\left(\sqrt{x+8}+\sqrt{x+3}\right)\)

<=> \(\sqrt{\left(x+3\right)\left(x+8\right)}+1=\sqrt{x+8}+\sqrt{x+3}\)

<=>   \(\left(\sqrt{\left(x+3\right)\left(x+8\right)}-\sqrt{x+8}\right)+\left(1-\sqrt{x+3}\right)=0\)

<=> \(\left(1-\sqrt{x+8}\right).\left(1-\sqrt{x+3}\right)=0\)

<=>  \(\sqrt{x+8}=1\) hoặc \(\sqrt{x+3}=1\)

<=> x+ 8 = 1 hoặc x + 3 = 1

<=> x = -7 hoặc x = - 2

Đối chiếu Đk => x = - 2 là nghiệm của PT

B= 0,5 <=> \(\frac{2-5\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}=0,5\)

<=> \(2.\left(2-5\sqrt{x}\right)=\sqrt{x}+3\) <=> 4 - 10\(\sqrt{x}\) = \(\sqrt{x}\) + 3

<=> 11\(\sqrt{x}\) = 1 <=> x = \(\frac{1}{11^2}=\frac{1}{121}\)(thỏa mãn)

c) Xét hiệu: B - \(\frac{2}{3}\) =   \(\frac{2-5\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\frac{2}{3}=\frac{6-15\sqrt{x}-2\left(\sqrt{x}+3\right)}{3\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{-17\sqrt{x}}{3\left(\sqrt{x}+3\right)}\le0\) Với mọi x > = 0 

=> \(B\le\frac{2}{3}\)

Giúp mình đi mình rút gọn đi đi lại lại mà chẳng ra