\(A=17\left(\frac{2}{7\cdot13}+\frac{3}{13\cdot22}+\frac{5}{22\cdot37}+\frac{4}{37\cdot49}\right)\)

\(=\frac{17}{3}\left(\frac{6}{7\cdot13}+\frac{9}{13\cdot22}+\frac{15}{22\cdot37}+\frac{12}{37\cdot49}\right)\)

\(=\frac{17}{3}\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{13}+\frac{1}{13}-\frac{1}{22}+\frac{1}{22}-\frac{1}{37}+\frac{1}{37}-\frac{1}{49}\right)\)

\(=\frac{17}{3}\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{49}\right)\)

\(B=13\left(\frac{3}{7\cdot16}+\frac{5}{16\cdot31}+\frac{4}{31\cdot43}+\frac{2}{43\cdot49}\right)\)

\(=\frac{13}{3}\left(\frac{9}{7\cdot16}+\frac{15}{16\cdot31}+\frac{12}{31\cdot43}+\frac{6}{43\cdot49}\right)\)  

\(=\frac{13}{3}\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{16}+\frac{1}{16}-\frac{1}{31}+\frac{1}{31}-\frac{1}{43}+\frac{1}{43}-\frac{1}{49}\right)\)

\(=\frac{13}{3}\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{49}\right)\) 

\(\Rightarrow\frac{A}{B}=\frac{\frac{17}{3}\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{49}\right)}{\frac{13}{3}\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{49}\right)}\)\(=\frac{\frac{17}{3}}{\frac{13}{3}}=\frac{17}{13}\)

\(\frac{A}{B}=\frac{17}{13}\)

Chúc bạn học tốt !!!!

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là n- 2; n - 1; n ; n + 1; n + 2

Ta có : (n-2)² + (n-1)² + n² + (n+1)² + (n +2)² =  (n² - 4n + 4) + (n² - 2n + 1) + n² + (n² + 2n + 1)+( n² + 4n + 4) = 5n² + 10 = 5.(n² + 2)

 Ta có 5. (n² + 2) chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 

vì n² + 2 không chia hết cho 5 (do n² có thể  tận cùng là 0;1;4;5;6;9 )

=> 5.(n² + 2) không là số chính phương => đpcm

Xét tam giác BDF và tam giác DEF ta có:

DF=DF (cạnh chung)

\(\widehat{BDF}=\widehat{DFE}\)(2 góc so le trong ;BA//EF)

\(\widehat{DFB}=\widehat{FDE}\)(2 góc so le trong ; DE//BC)

=> \(\Delta BDF=\Delta DEF\left(g.c.g\right)\)

=> \(BD=EF\)(2 cạnh tương ứng)

Mà AD=BD(D là trung điểm của AB   gt)

Nên AD=EF

b) \(\widehat{ADE}=\widehat{BAC}\)(2 góc đồng vi,DE//BC)

\(\widehat{CEF}=\widehat{BAC}\)(2 góc đồng vi,EF//AB)

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{CFE}\)( phần này mình ko chắc)

Xét \(\Delta ADE=\Delta EFC\)

\(\widehat{ADE}=\widehat{CFE}\Rightarrow AD=EF\)(chứng minh theo câu a)

\(\widehat{DAE}=\widehat{FEC}\)(2 góc đồng vi ;DE//BC)

\(\Leftrightarrow\Delta ADE=\Delta EFC\left(g.c.g\right)\)

Từ đó,ta có \(\Delta ADE=\Delta EFC\)

\(\Rightarrow AE=EC\)(2 cạnh tương ứng)

Vì DE//BC

\(\widehat{F_2}\)=\(\widehat{D_1}\)(SLT)

Vì EF//AB

\(\Rightarrow\widehat{F_1}\)=\(\widehat{D_2}\)(SLT)

Xét \(\Delta BDFvà\Delta EDF\)

\(\widehat{F_2}=\widehat{_{ }D_1}\)(c.m.tr)               \(\widehat{D_2}=\widehat{F_1}\left(c.m.tr\right)\)\(DF\)là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta BDF=\Delta EDF\left(g.c.g\right)\)

\(BD=EF\)(2 cạnh t/ứng) và\(\widehat{D}=\widehat{E}\)(2 góc t/ứng)

\(\Rightarrow BD=AD=EF\)

Xét \(\Delta ADEvà\Delta EFC\)

AD=EF                        D\(\widehat{D_3}=\widehat{F_3}\left(c.m.tr\right)\)           \(\widehat{A}=\widehat{E}\)

\(\Rightarrow\Delta ADE=\Delta EFC\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow\)AE=EC(2 canh..)

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)\(\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a-b}{c-d}\)

\(\frac{a}{c}=\frac{a-b}{c-d}\)\(\Rightarrow\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}\)

\(\frac{315-x}{101}+\frac{313-x}{103}+\frac{311-x}{105}+\frac{309-x}{107}=-4\)

\(\left(\frac{315-x}{101}+1\right)+\left(\frac{313-x}{103}+1\right)+\left(\frac{311-x}{105}+1\right)+\left(\frac{309-x}{107}+1\right)=0\)

\(\frac{416-x}{101}+\frac{416-x}{103}+\frac{416-x}{105}+\frac{416-x}{107}=0\)

\(\left(416-x\right).\left(\frac{1}{101}+\frac{1}{103}+\frac{1}{105}+\frac{1}{107}\right)=0\)

vì \(\frac{1}{101}+\frac{1}{103}+\frac{1}{105}+\frac{1}{107}\ne0\)nên 416 - x = 0

\(\Rightarrow x=416\)

x=416