Giải

\(\left(2x-1\right)^2-\left(x-3\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left(2x-1\right)^2=\left(x-3\right)^2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x-1=x-3\\2x-1=-\left(x-3\right)\end{cases}}\)

(Bình phương của số này bằng bình phương của một số kia thì ta sẽ có hai trường hợp âm dương như vậy)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x-x=-3+1\\2x-1=-x+3\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}x=-2\\2x+x=3+1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\3x=4\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\3x=4\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-2\\x=\frac{4}{3}\end{cases}}\)

Vậy \(x=-2 \text{ và } x=\dfrac43\)

\(12x+15x^2y=3x.4+3x.5xy=3x\left(4+5xy\right)\)

\(\text{Vậy } 12x + 15x^2y=3x(4+5xy)\)

a/

\(a+b+c=2\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2=4\)

\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=4\)

\(2+2\left(ab+bc+ca\right)=4\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca=1\left(đpcm\right)\)

b/

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{bc+ca+ab}{abc}=\frac{1}{abc}\left(đpcm\right)\)

+) \(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\)

\(=\frac{c+a+b}{abc}=\frac{0}{abc}=0\)

+) \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)

\(=\frac{\left(bc+ac+ab\right)^2}{\left(abc\right)^2}=\frac{b^2c^2+2bc\left(ac+ab\right)+\left(ac+ab\right)^2}{a^2b^2c^2}\)

\(=\frac{b^2c^2+2abc^2+2ab^2c+a^2c^2+2a^2bc+a^2b^2}{a^2b^2c^2}\)

\(=\frac{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2+2abc\left(a+b+c\right)}{a^2b^2c^2}\)

\(=\frac{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}{a^2b^2c^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\)

a/ Với a, b, c khác 0 ta có:

\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=\frac{c}{abc}+\frac{a}{abc}+\frac{b}{abc}=\)\(\frac{a+b+c}{abc}=\frac{0}{abc}=0\) (dpcm)