Kẻ DH và BK cùng vuông góc với AC. Thì tam giác vuông ADH = tam giác vuông CBK( AD = BC ; góc DAH = góc BCK so le trong) suy ra AH = CK. 

Ta có tam giác vuông ADH đồng dạng với tam giác vuông ACF vì có góc A chung suy ra AH/AF = AD/AC suy ra AD.AF = AH.AC = CK.AC (1)

Cm tương tự ta cũng có : tam giác vuông AEC đồng dạng với tam giác vuông AKB cho ta AB.AE = AK.AC (2)

Cộng từng vế (1) và (2) suy ra đpcm

Áp dụng bđt : Với a>0 ; b>0 thì 1/b + 1/b >=4/(a+b) ta có :

\(\frac{1}{x^2+xy}+\frac{1}{y^2+xy}\ge\frac{4}{x^2+xy+y^2+xy}=\frac{4}{\left(x+y\right)^2}\ge4\)( vì 0 = < x + y <=1)

vì tam giác ABE đều nên góc ABE = AEB = 60⁰

suy ra goc EBC = 90 - 30 = 60⁰

vì tam giác BFC đều nên goc FBC = FCB = 60^o

Ta có tam giác EBF cân tại B (vì BE =BF ) và goc EBF = EBC + CBF = 60+30 = 90^o

suy ra goc BEF = \(\frac{180-90}{2}\)=45^o

ta có goc AEF = AEB + BEF = 60 + 45 = 105^o

ta có tam giac AED cân tại A(vì AD = AE) và goc EAD = 30^o nên goc AED = \(\frac{180-30}{2}\)= 75^o

Ta có goc AED + goc AEF = 75 + 105 = 180^o

suy ra D, E, F thẳng hàng

xét hiệu: \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}-\frac{b^2}{a+b}-\frac{c^2}{b+c}-\frac{a^2}{c+a}\)

\(=\frac{a^2-b^2}{a+b}+\frac{b^2-c^2}{b+c}+\frac{c^2-a^2}{c+a}\)

\(=a-b+b-c+c-a=0\)

suy ra đpcm

Và $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}$ thế nào hả bạn?

điều kiện x³+ 2x² - x -2 \(\ne\)0\(\Leftrightarrow x^2\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\ne0\Leftrightarrow\left(x^2-1\right)\left(x+2\right)\ne0\)