1) x⁴y² + x²y⁴ + x⁴y³ + x²y⁵  = (x⁴y² + x²y⁴) + (x⁴y³ + x²y⁵) = x²y².(x² + y²) + x²y³.(x² + y²) = x²y².(x²+ y²) (1 + y) = [xy.(x² + y²)].[xy(1+y)]

=> x⁴y² + x²y⁴ + x⁴y³ + x²y⁵ chia cho xy.(x² + y²)  bằng xy.(1+ y)

2) A = (n² - 8)² + 36 = n⁴ - 16n² + 100  = (n⁴ + 20n² + 100) - 36n² = (n² + 10)² - (6n)² = (n² - 6n+ 10).(n² + 6n+ 10)

Vậy để A là số nguyên tố thì n² - 6n + 10 = 1 hoặc n² + 6n + 10 = 1

Mà n là số tự nhiên nên n²+ 6n + 10 > 1 

=>  n² - 6n + 10 = 1  => n² - 6n + 9 = 0 => (n -3)² = 0 => n = 3 

Vậy....

3) a) = xy(x - y) - xz(x + z) + yz.[(x+ z) + (x - y)] = xy(x - y) - xz(x + z) + yz.(x + z) + yz(x - y)

= [xy(x - y) + yz.(x - y)] + [(yz.(x+ z) - xz(x+z)] = y(x - y)(x+ z) + z(x + z).(y - x) = (x+ z)(x- y).(y - z)

b) = (x² + x)² - (2x)² - 4(x+3) = (x² + x + 2x).(x² + x- 2x) - 4(x+3) = (x² + 3x).(x² - x) - 4(x+3)

= (x+3).[x.(x² - x) - 4] = (x+3).(x³ - x² - 4) = (x+3).(x³ - 8 + 4 - x²) = (x+3).[(x - 2)(x² + 2x + 4) - (x - 2).(x+2)]

= (x + 3).(x - 2).(x² + 2x + 4 - x- 2) = (x + 3).(x - 2).(x² + x + 2) 

4) a) n⁴ + 1/4 = (n⁴ + n² + 1/4) - n² = (n² + 1/2)² - n² = (n² - n + 1/2).(n² + n + 1/2) = [n(n - 1) + 1/2].[n.(n+1) + 1/2]

Áp dụng công thức ta có:

A = \(\frac{\left(1^4+\frac{1}{4}\right)\left(3^4+\frac{1}{4}\right)...\left(19^4+\frac{1}{4}\right)}{\left(2^4+\frac{1}{4}\right).\left(4^4+\frac{1}{4}\right)...\left(20^4+\frac{1}{4}\right)}=\frac{\frac{1}{2}.\left(1.2+\frac{1}{2}\right).\left(2.3+\frac{1}{2}\right).\left(3.4+\frac{1}{2}\right)...\left(18.19+\frac{1}{2}\right).\left(19.20+\frac{1}{2}\right)}{\left(1.2+\frac{1}{2}\right).\left(2.3+\frac{1}{2}\right).\left(3.4+\frac{1}{2}\right).\left(4.5+\frac{1}{2}\right)...\left(19.20+\frac{1}{2}\right).\left(20.21+\frac{1}{2}\right)}\)

A = \(\frac{\frac{1}{2}}{20.21+\frac{1}{2}}=\frac{1}{841}\)

n^3 - n 
n(n^2 - 1) 
n(n - 1)(n + 1) 

Vì n, (n - 1), (n + 1) là ba số nguyên liên tiếp, trong đó, có 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3 nên tích 3 số chia hết cho 6 

=> n(n - 1)(n + 1) chia hết cho 6 
<=> (n^3 - n) chia hết cho 6

Ta có : n³ - n = n . ( n² - 1 )

                     = n . ( n -1 ) . ( n + 1 )

   Đây là tích 3 số tự nhiên liên tiếp => nó chia hết cho 2 ; 3

Vậy n³ - n chia hết cho 6 

Để cho 3 cái đều có diện tích là \(\frac{1}{3}ABC\) thì :

Trước tiên ta nối AD. Ta được S_ABC=S_ADC=1/2 S_ABC

Để vẽ được BED bằng 1/3 S_ABC thì ta vẽ S_BED= \(\frac{1}{3}:\frac{1}{2}\left(S_{ABD}\right)=\frac{2}{3}S_{ABD}\) hay còn nói : BE=2/3 BA

Tương tự với tam giác GDC

Phần còn lại là tứ giác và cũng bằng 2 tam giác kia  

Bậc của đa thức chia x² - 1 bằng 2 => Đa thức dư có dạng ax + b. Gọi Q(x) là thương của phép chia

=> x²⁰¹⁵ - x¹⁰ - x⁸ = (x² - 1).Q(x) + (ax + b)

Thay lần lượt x = 1; x = -1 ta được:

-1 = a + b

-3 = -a + b 

=> (a+ b) + (-a + b) = 2b = -4 => b = - 2 => a = -1 - (-2) = 1

Vậy đa thức dư là: x - 2

xét tam giác AHB và tam giác CAB có 

H = A = 90 

C chung 

=> AHB đồng dạng CAB ( g.g )

=>\(\frac{AB}{BC}=\frac{HB}{AB}\Leftrightarrow AB^2=HB.BC\Leftrightarrow AB=\sqrt{175.112}=140\)

\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{140^2-112^2}=84\)

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{175^2-140^2}=105\)

VÌ AD là tia phân giác trogn tam giác ABC 

\(\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}\)

THEO T/C DÃY TĨ SỐ = NHAU

\(\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}=\frac{BD+DC}{AB+AC}=\frac{175}{140+105}=\frac{5}{7}\)

\(\frac{BD}{AB}=\frac{5}{7}\Rightarrow BD=\frac{5.AB}{7}=\frac{5.140}{7}=100\)

HD = HB - BD = 112 -100 = 12 

\(AD=\sqrt{AH^2+HD^2}=\sqrt{12^2+84^2}=85\)

AD= 60\(\sqrt{2}\)