\begin{equation}
\begin{aligned}
& (a c+b d)^2+(a d-b c)^2 \\
& =a^2 c^2+2 a b c d+b^2 d^2+a^2 d^2-2 a b c d+b^2 c^2 \\
& =\left(a^2 c^2+a^2 d^2\right)+\left(b^2 d^2+b^2 c^2\right) \\
& =a^2\left(c^2+d^2\right)+b^2\left(d^2+c^2\right) \\
& =\left(c^2+d^2\right)\left(a^2+b^2\right)
\end{aligned}
\end{equation}

Gọi số giờ vòi 1 chảy riêng đầy bể là x. vòi 2 là y

Theo bài ra ta có : 

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{2y}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1:\dfrac{24}{5}\end{matrix}\right.\)

Thay \(\dfrac{1}{x}\) = \(\dfrac{3}{2y}\) vào \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=1:\dfrac{24}{5}\) ta có :

\(\dfrac{3}{2y}\) + \(\dfrac{1}{y}\) = \(\dfrac{5}{24}\) ⇒ \(\dfrac{1}{y}\).( \(\dfrac{3}{2}+1\)) = \(\dfrac{5}{24}\) ⇒ y = \(\dfrac{5}{24}\): ( \(\dfrac{3}{2}\)+1)

 ⇒ \(\dfrac{1}{y}\) = \(\dfrac{1}{12}\) ⇒ y = 12 ; x = 1 : \(\dfrac{3}{2.12}\) ⇒ x = 8 

Vậy vòi 1 chảy một mình đầy bể sau 8 giờ

       vòi 2 chảy một mình đầu bể sau 12 giờ.

Với m = 2 ta có : 

x² - 2( 2+1) x + 4 + 4 =0

x² - 6x + 8 = 0

Δ' = 9 - 8 = 1

x1 = (3 + \(\sqrt{1}\)) : 1 = 4

x2 = (3 - \(\sqrt[]{1}\)) : 1 = 2

x \(\in\) { 2; 4}

Để pt có hai nghiệm phân biệt thì 

Δ' > 0 ⇔ (m+1)² - (m²+4) >0 

⇒ m² + 2m + 1 - m² - 4 > 0

                          2m - 3 > 0

                                  m > 3/2

vậy với m > 3/2 thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt

a) \(3x^2-6x=0\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{-\left(-6\right)\pm\sqrt{\left(-6\right)^2-4\left(3\cdot0\right)}}{2\cdot3}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{6\pm\sqrt{36}}{6}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{6+6}{6}\\x=\dfrac{6-6}{6}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=0\end{matrix}\right.\)

b) \(x^2-4=0\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{\left(-1\right)^2-4\left(1\cdot0\right)}}{2\cdot1}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1}}{2}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-1+1}{2}\\x=\dfrac{-1-1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-1\end{matrix}\right.\)

c) \(x^2+6x-7=0\)

\(x=\dfrac{-6\pm\sqrt{\left(-6\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-7\right)}}{2\cdot1}\)

\(x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-\left(-28\right)}}{2}\)

\(x=\dfrac{-6\pm8}{2}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{-6+8}{2}\\x=\dfrac{-6-8}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-7\end{matrix}\right.\)

2)

a) \(\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\x+y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow2x=\left(x+y\right)+\left(x-y\right)=3+1=4\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4:2\\y=\left(x+y\right)-x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)

A = \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2=\left(x^2+y^2\right)+\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+4\)

<=> 2A = \(2\left(x^2+y^2\right)+2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+8\)

Ta có \(2\left(x^2+y^2\right)=\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=1\)(Bất đẳng thức Bunyakovsky) (1) 

Áp dụng tương tự ta có

 \(2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)=\left(1^2+1^2\right).\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)

\(\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\) (BĐT Bunyakovsky)

\(\ge\left(\dfrac{4}{x+y}\right)^2=\dfrac{16}{\left(x+y\right)^2}=16\) (BĐT Schwarz) (2) 

Từ (1) và (2) ta có \(2A\ge1+16+8=25\Leftrightarrow A\ge\dfrac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}\\x=y\\x+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(A_{min}=\dfrac{25}{2}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

Gọi thời gian vòi 1,2 chảy đầy bể lần lượt là x , y (x > 12, y > 12)

1 giờ vòi 1 chảy được \(\dfrac{1}{x}\) bể

1 giờ vòi  2 chảy được \(\dfrac{1}{y}\) bể

=> 1 giờ 2 vòi chảy được \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\) (bể) (1)

Lại có : Khi 2 vòi chảy chung trong 4 giờ và vòi 1 chảy trong 14 giờ

tiếp theo thì đầy bể 

nên ta có : \(4.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+14.\dfrac{1}{x}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{2}\) (2) 

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{9}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{6}\\\dfrac{9}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{7}{x}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=28\\x=21\end{matrix}\right.\)(t/m) 

Vậy vòi 1 chảy đầy bể 1 mình sau 21 giờ

vòi 2 xong trong 28 giờ

a. \(\left\{{}\begin{matrix}3x-2y=5\\x+2y=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x-2y=5\\3x+6y=12\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{9}{4}\\y=\dfrac{7}{8}\end{matrix}\right.\)

b. Đặt a = \(\sqrt{x+1}\); \(b=\sqrt{y-2}\) ta có hệ mới là: 

\(\left\{{}\begin{matrix}2a-3b=5\\4a+b=17\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=1\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=4\\\sqrt{y-2}=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=16\\y-2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=15\\y=3\end{matrix}\right.\)