Bạn tìm GTLN ở vế trái là 3 và GTNN ở vế phải là 3

Dấu "=" xảy ra khi x = 1 và y = 2

Đó chính là x,y thỏa mãn đề bài.

Ta sẽ CM bổ đề (I): Với mọi số thực a, b thì \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|.\)

CM: (I) \(\Leftrightarrow\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2\ge\left|a+b\right|^2\)\(\Leftrightarrow\left|a\right|^2+\left|b\right|^2+2\left|ab\right|\ge\left(a+b\right)^2\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+2\left|ab\right|\ge a^2+b^2+2ab\)\(\Leftrightarrow2\left|ab\right|\ge2ab\)\(\Leftrightarrow\left|ab\right|\ge ab\)(đúng do tính chất của giá trị tuyệt đối - GTTĐ).

Đẳng thức xảy ra khi \(ab\ge0.\)

Ta trở lại giải bài toán ban đầu.

Với mọi số thực x, ta có: \(\left(x-1\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x-1\right)^2+2\ge2\Rightarrow\frac{6}{\left(x-1\right)^2+2}\le3\left(1\right).\)

Với mọi số thực y, áp dụng bổ đề (I) và tính chất của GTTĐ ta có:

\(\left|y-1\right|+\left|y-2\right|+\left|y-3\right|+1=\left(\left|y-1\right|+\left|3-y\right|\right)+\left|y-2\right|+1\)\(\ge\left|y-1+3-y\right|+0+1=\left|2\right|+1=3\left(2\right).\)

Từ (1) và (2) suy ra vế trái \(\le3\), vế phải \(\ge3\)theo đề bài, 2 vế đều phải bằng nhau, từ đó suy ra vế trái và vế phải đều bằng 3.

Điều đó xảy ra khi và chỉ khi:

• \(\left(x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1.\)
• \(\hept{\begin{cases}\left(y-1\right)\left(3-y\right)\ge0\\\left|y-2\right|=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(y-1\right)\left(3-y\right)\ge0\\y-2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(y-1\right)\left(3-y\right)\ge0\\y=2\end{cases}}\Leftrightarrow y=2.}\)

​Thử lại với x = 1, y = 2 thấy thoả mãn.

Vậy x = 1, y = 2.

\(\left|\left|x-1\right|+2\right|=3\Leftrightarrow\left|x-1\right|+2=\pm3\)

Suy ra: \(\orbr{\begin{cases}\left|x-1\right|=1\left(c\right)\\\left|x-1\right|=-5\left(l\right)\end{cases}}\).Ta có:

\(\left|x-1\right|=1\Leftrightarrow x-1=\pm1\Leftrightarrow x=\) 2 hoặc 0 (t/m)

Vậy ..

\(||x-1|+2|=3\)

\(\Rightarrow\left|x-1\right|+2=\pm3\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-1=1(c)\\x-1=-5(l)\end{cases}}\)

Ta có : \(\left|x-1\right|=1\Rightarrow x-1=\pm1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\x=-2\end{cases}}\)

P/S : Hoq chắc :>

bn dúng rồi đó buồn nôn