a) So sánh các cạnh của ∆BGG’ với các đường trung tuyến của ∆ABC.

Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

- G là trọng tâm của ∆ABC

  ⇒⇒ GA = \(\frac{2}{3}\) AM

Mà GA = GG’ (G là trung điểm của AG’)

  ⇒⇒ GG' = \(\frac{2}{3}\) AM

- Vì G là trọng tâm của ∆ABC ⇒⇒ GB = \(\frac{2}{3}\) BN

- Ta có:  

GM = \(\frac{1}{2}\) AG (do G là trọng tâm) và AG = GG' (gt)

⇒⇒ GM = \(\frac{1}{2}\) GG'

Xét ∆GMC và ∆G’MB có: 

GM = MG' 

MB = MC

ˆGMC=ˆG′MBGMC^=G′MB^ (hai góc đối đỉnh)

Vậy  ∆GMC=∆G’MB.

 ⇒⇒ BG' = CG

Mà CG = \(\frac{2}{3}\) CE (G là trọng tâm tam giác ABC) 

 ⇒⇒ BG' =  \(\frac{2}{3}\) CE

Vậy mỗi cạnh của ∆BGG’ bằng \(\frac{2}{3}\) đường trung tuyến của ∆ABC.

b) So sánh các đường trung tuyến của ∆BGG’ với các cạnh của ∆ABC.

- Ta có: BM là đường trung tuyến ∆BGG’

Mà M là trung điểm của BC nên BM = \(\frac{1}{2}\) BC

Vì IG = \(\frac{1}{2}\) BG (Do I là trung điểm BG)

GN = \(\frac{1}{2}\) BG (G là trọng tâm)

⇒⇒  IG = GN

Xét  ∆IGG’ và ∆NGA có:

 IG = GN (cmt)

GG' = GA (gt)

ˆIGG′=ˆNGAIGG′^=NGA^ (hai góc đối đỉnh)

Vậy ∆IGG’ = ∆NGA (c.g.c) ⇒  IG' = AN ⇒  IG' = AC2AC2

- Gọi K là trung điểm BG ⇒  GK là trung tuyến của ∆BGG’

Vì GE =  \(\frac{1}{2}\) GC (G là trọng tâm tam giác ABC)

BG' = GC (cmt)

⇒⇒  GE =\(\frac{1}{2}\) BG'

Mà K là trung điểm BG’ ⇒⇒ KG’ = EG

Vì ∆GMC = ∆G’MB (cmt)

⇒⇒   ˆGCM=ˆG′BMGCM^=G′BM^ (hai góc tương ứng)

⇒⇒  CE // BG’ ⇒   ˆAGE=ˆAG′BAGE^=AG′B^ (đồng vị)

Xét ∆AGE và ∆GG’K có:

 EG = KG’ (cmt)

AG = GG' (gt)

ˆAGE=ˆAG′BAGE^=AG′B^ (cmt)

Vậy ∆AGE = ∆GG’K (c.g.c) ⇒⇒  AE = GK

Mà AE = \(\frac{1}{2}\) AB ⇒⇒  GK = \(\frac{1}{2}\) AB

Vậy mỗi đường trung tuyến của ∆BGG’ bằng một nửa cạnh của tam giác ABC song song với nó

Câu hỏi của Winkies:bạn tham khảo tại đây nhé!

\(HUY=\frac{abc}{abc+a+ab}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{b}{b+bc+abc}=\frac{bc}{bc+1+b}+\frac{1}{1+b+bc}+\frac{b}{b+bc+1}=1\)

a, xét tam giác BMD và tam giác BHD có:

            BD cạnh chung

           \(\widehat{MBD}\)=\(\widehat{HBD}\)(gt)

 => t.giác BMD=t.giác BHD(CH-GN)

b,xét t.giác NMB và t.giác AHB có:

             MB=HB(theo câu a)

             \(\widehat{B}\)chung

=> t.giác NMB=t.giác AHB(CGV-GN)

=>\(\widehat{MNB}\)=\(\widehat{HAB}\); NB=AB

xét t.giác DNB và t.giác DAB có:

            \(\widehat{DNB}\)=\(\widehat{DAB}\)( cmt)

             NB=AB(cmt)

             \(\widehat{NBD}\)=\(\widehat{ABD}\)(gt)

=>t.giác DNB=t.giác DAB(g.c.g)

=> DN=DA

=> t.giác ADN cân tại A

a, xét \(\Delta\)BEM và \(\Delta\)CFM có:

           \(\widehat{B}\)=\(\widehat{C}\)(gt)

           BM=CM(trung tuyến AM)

\(\Rightarrow\)\(\Delta\)BEM=\(\Delta\)CFM(CH-GN)

b,Ta có \(\Delta\)ABM=\(\Delta\)ACM(c.c.c)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{BAM}\)=\(\widehat{CAM}\)

Gọi O là giao của AM và EF

xét tam giác OAE và tam giác OAF có:

              AO cạnh chung

             \(\widehat{OAE}\)=\(\widehat{OAF}\)(cmt)

     vì AB=AC mà EB=FC nên AE=AF

\(\Rightarrow\)tam giác OAE=tam giác OAF(c.g.c)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{AOE}\)=\(\widehat{AOF}\)mà 2 góc này ở vị trí kề bù nên\(\widehat{AOE}\)=\(\widehat{AOF}\)=90 độ(1)

\(\Rightarrow\)OE=OF suy ra O là trung điểm EF(2)

từ (1) và (2) suy ra AM là đg trung trực của EF

c, vì \(\widehat{BAM}\)=\(\widehat{CAM}\)=> AM là p/g của \(\widehat{BAC}\)(1)

ta có tam giác BAM=tam giác CAM(c.g.c)

=> AD là p/g của góc BAC(2)

từ (1) và(2) suy ra AM và AD trùng nhau nên A,M,D thẳng hàng

a, Ta có : Tam giác ABC cân tại A => Góc B=Góc C

Xét tam giác BEM vuông tại E và tam giác CFM vuông tại F

BM=CM (BM là trung tuyến)

Góc B=Góc C

=> Tam giác BEM=Tam giác CFM(ch-gn)

b,Từ a, \(\Delta\)BEM=\(\Delta CFM\)=> ME=MF (1);BE=FC

Mà AB=AC=> AE=AF(2)

Từ 1 và 2 => AM là trung trực của EF