12+567=579

bằng 579

a) \(\Delta ABC\)vuông tại A có trung tuyến AM (gt) \(\Rightarrow AM=\frac{BC}{2}\)(1)

Mà M là trung điểm BC nên \(MC=\frac{BC}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AM=CM\left(=\frac{BC}{2}\right)\)\(\Rightarrow\Delta ACM\)cân tại M \(\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{C}\)

Vì \(\Delta ABC\)vuông tại A nên \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\Rightarrow\widehat{C}=90^0-\widehat{B}\)(3)

Do AH là đường cao của \(\Delta ABC\)nên \(\Delta ABH\)vuông tại H \(\Rightarrow\widehat{BAH}+\widehat{B}=90^0\Rightarrow\widehat{BAH}=90^0-\widehat{B}\)(4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{C}=\widehat{BAH}\left(=90^0-\widehat{B}\right)\)

Lại có \(\widehat{MAC}=\widehat{C}\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{MAC}\)(đpcm)

b) Vì \(HD\perp AB\)tại D(gt) nên HD là đường cao của \(\Delta ABH\)

Xét \(\Delta ABH\)vuông tại H có đường cao HD \(\Rightarrow AH^2=AD.AB\left(htl\right)\)(5)

Chứng minh tương tự, ta có \(AH^2=AE.AC\)(6)

Từ (5) và (6) \(\Rightarrow AD.AB=AE.AC\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\)

Xét \(\Delta AED\)và \(\Delta ABC\)có \(\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}\left(cmt\right);\)\(\widehat{A}\)chung

\(\Rightarrow\Delta AED~\Delta ABC\left(c.g.c\right)\)\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{ABC}\)\(\Rightarrow\widehat{AEK}=\widehat{B}\)(hiển nhiên) (7)

Mặt khác \(\widehat{MAC}=\widehat{C}\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{EAK}=\widehat{C}\)(hiển nhiên) (8)

Từ (7) và (8) \(\Rightarrow\widehat{AEK}+\widehat{EAK}=\widehat{B}+\widehat{C}\)

Mà \(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{AEK}+\widehat{EAK}=90^0\)

\(\Delta AEK\)có \(\widehat{AEK}+\widehat{EAK}=90^0\left(cmt\right)\Rightarrow\Delta AEK\)vuông tại K \(\Rightarrow AK\perp EK\)tại K

\(\Rightarrow AM\perp DE\)tại K (hiển nhiên) và ta có đpcm.

c) Dễ thấy \(BC=BH+CH=4,5+8=12,5\)
\(\Delta ABC\)vuông tại A, đường cao AH \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AH^2=BH.CH=4,5.8=36\Rightarrow AH=6\\AB^2=BH.BC=4,5.12,5=56,25\Rightarrow AB=7,5\\AC^2=CH.BC=8.12,5=100\Rightarrow AC=10\end{cases}}\)

Và \(AC^2=CH.BC=8.12,5=100\Rightarrow AC=10\)

Dễ thấy tứ giác ADHE là hình chữ nhật \(\Rightarrow AH=DE\), mà \(AH=6\Rightarrow DE=6\)

Lại có \(\Delta AED~\Delta ABC\left(cmt\right)\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}=\frac{DE}{BC}\)(*)

Thay \(AB=7,5;AC=10;BC=12,5;DE=6\)vào (*), ta có: \(\frac{AE}{7,5}=\frac{AD}{10}=\frac{6}{12,5}=\frac{12}{25}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}AE=\frac{12.7,5}{25}=3,6\\AD=\frac{10.12}{25}=4,8\end{cases}}\)

\(\Delta ADE\)vuông tại A, đường cao AK (vì \(AK\perp DE\)tại K theo cmt)

\(\Rightarrow AK.DE=AD.AE\left(htl\right)\)\(\Rightarrow AK=\frac{AD.AE}{DE}=\frac{3,6.4,8}{6}=2,88\)

Vậy AK = 2,88

OK bạn

Ví dụ 1: Cho a, b,c là các số không âm chứng minh rằng

  (a+b)(b+c)(c+a)≥≥8abc

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A=4a^2+6b^2+3c^2\)

Đây nhé

HT

\(đkxđ:x-3\ge0\Leftrightarrow x\ge3\)

\(\sqrt[3]{x+1}=\sqrt{x-3}\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(\sqrt[3]{x+1}\right)^6=\left(\sqrt{x-3}\right)^6\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+1\right)^2=\left(x-3\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2x+1=x^3-9x^2+27x-27\)

\(\Leftrightarrow x^3-10x^2+25x-28=0\)

\(\Leftrightarrow x^3-7x^2-3x^2+21x+4x-28=0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-7\right)-3x\left(x-7\right)+4\left(x-7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-7\right)\left(x^2-3x+4\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-7=0\\x^2-3x+4=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=7\left(nhận\right)\\x^2-2x.\frac{3}{2}+\frac{9}{4}+\frac{7}{4}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=7\\\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{7}{4}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=7\\\left(x-\frac{3}{2}\right)^2=-\frac{7}{4}\left(vôlí\right)\end{cases}}\)

Vậy \(x=7\)

a/ 

Xét \(\Delta OCD\) có 

OC=OD (Đều là bán kính (O))

=> tg OCD cân tại O

Ta có \(OH\perp CD\) => OH là đường cao của \(\Delta OCD\)

\(\Rightarrow HC=HD\)(Trong tg cân đường cao xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến)

Mà HA=HO (gt)

=> ACOD là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mooic đường là hbh)

Mà \(CD\perp AO\left(gt\right)\)

=> ACOD là hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi)

b/

Xét tg OAC có

HA=HO (gt) => CH là trung tuyến của tg OAC

 \(CH\perp AO\) => CH là đường cao của tg OAC

=> tg OAC cân tại C (tam giác có đường cao, đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân)

=> AC=OC mà OC=OA (bán kính (O)) => AC=OC=OA => tg OAC là tg đều

Xét tg CBD có

HC=HD (cmt) => BH là trung tuyến của tg CBD

\(BH\perp CD\) => BH là đường cao của tg CBD

=> tg BCD cân tại B (tam giác có đường cao, đồng thời là đường trung tuyến thì tg đó là tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{DCB}=\widehat{CDB}\) (góc ở đáy của tg cân)

Mà \(\widehat{CDB}=\widehat{CAB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung BC)

Do tg OAC là tg đều \(\Rightarrow\widehat{CAB}=60^o\)

\(\Rightarrow\widehat{DCB}=\widehat{CDB}=60^o\Rightarrow\widehat{CBD}=60^o\)

=> tg CBD là tg đều

c/

Xét tg CBD có BH là trung tuyến 

\(HO=\frac{AO}{2}=\frac{BO}{2}\) => O là trọng tâm của tg CBD

=> DO là trung tuyến thuộc cạnh BC nên DO phải đi qua M là trung điểm BC => D, O, M thẳng hàng

d/

Ta có

\(HC=HD\Rightarrow HC=\frac{CD}{2}\Rightarrow CD=2.HC\Rightarrow CD^2=4.HC^2\)

Xét tg ABC có \(\widehat{ACB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) => tg ABC vuông tại C

Ta có

\(HC^2=AH.HB\) (trong tg vuông bình phương đường cao từ đỉnh góc vuông bằng tích giữa hai hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền)

\(\Rightarrow CD^2=4.HC^2=4.AH.HB\)

\(\sqrt{xy}\)vẫn xác định khi \(x< 0;y< 0\)(khi đó \(xy>0\)), nhưng  đừng bao giờ viết \(\sqrt{xy}=\sqrt{x}.\sqrt{y}\)

có xác định 

ssdzsawrrrrrrt

Xét \(\Delta ABC\)có D và F lần lượt là trung điểm của AB và BC \(\Rightarrow\)DF là đường trung bình của \(\Delta ABC\)

\(\Rightarrow DF//AC\)

Mà \(AB\perp AC\Rightarrow DF\perp AB\Rightarrow\widehat{ADF}=90^0\)

Xét tứ giác ADHF có \(\widehat{ADF}=\widehat{AHF}\left(=90^0\right)\Rightarrow\)Tứ giác ADHF nội tiếp được đường tròn. \(\Rightarrow\)Đường tròn đi qua A, D, H đi qua F. (1)

Dễ dàng chứng minh EF là đường trung bình của \(\Delta ABC\)\(\Rightarrow EF//AB\)

Mà \(AB\perp AC\Rightarrow EF\perp AC\Rightarrow\widehat{AEF}=90^0\)

Xét tứ giác ADFE có \(\widehat{DAE}=\widehat{ADF}=\widehat{AEF}\left(=90^0\right)\Rightarrow\)Tứ giác ADFE là hình chữ nhật \(\Rightarrow\)A,D,F,E cùng thuộc một đường tròn \(\Rightarrow\)Đường tròn đi qua A,D,F cũng đi qua E. Mà đường tròn đi qua A,D,F chính là đường tròn đi qua A,D,H nên đường tròn đi qua A,D,H đi qua E. (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrowđpcm\)