Vì a chia 4 dư 1 nên $a = 4m + 1(m ∈N)$
Vì b chia 4 dư 3 nên $b = 4n + 3 ( n ∈N)$

Ta có : 

$(b - a)(b + a) = b^2 - a^2 = (4n + 3)^2 - (4m + 1)^2 = 16n^2 + 24n + 9 - 16m^2 - 8m - 1$

$= 16(n^2 - m^2) + 24n - 8m + 8$

Vì : $16(n^2 - m^2) ⋮ 4 ; 24n ⋮ 4 ; -8m ⋮ 4 ; 8 ⋮ 4$ nên $(b - a)(b + a) ⋮ 4$

a=4m+1; b=4n+3

(b-a)(b+a)=(4n+3-4m-1)(4n+3+4m+1)=

=[(4n-4m)+2].[(4n+4m)+4]=

=(4n-4m)(4n+4m)+4(4n-4m)+2(4n+4m)+8=

=16(n²-m²)+4(4n-4m)+8(n+m)+8 chia hết cho 4

a) Thiếu số mũ cuối cùng. Em bổ sung đề bài nhé.

b) \(B=\left(x-2\right)^3+\left(x+3\right)^4+\left(x-4\right)^3\)

\(=x^3-6x^2+12x-8+x^4+12x^3+54x^2+108x+81+x^3-12x^2+48x-64\\ =x^4+14x^3+36x^2+168x+9\)

Vậy hệ số của \(x^3\) là 14

Lần sau bạn có thể tách nhỏ câu để dễ được giúp đỡ hơn nha

*Ta có: \(A=x^2-12x+30=x^2-12x+36-6\)

\(=\left(x-6\right)^2-6\ge-6\forall x\in R\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x=6\)

*Ta có: \(B=16x^2+40x+31=16x^2+40x+25+6\)

\(=\left(4x+5\right)^2+6\ge6\forall x\in R\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x=-\dfrac{5}{4}\)

*Ta có: \(C=x^2-15x+60=x^2-2.\dfrac{15}{2}x+\dfrac{225}{4}+\dfrac{15}{4}\)

\(=\left(x-\dfrac{15}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}\ge\dfrac{15}{4}\forall x\in R\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x=\dfrac{15}{2}\)

*Ta có: \(D=x^2+17x+75=x^2+2.\dfrac{17}{2}x+\dfrac{289}{4}+\dfrac{11}{4}\)

\(=\left(x+\dfrac{17}{2}\right)^2+\dfrac{11}{4}\ge\dfrac{11}{4}\forall x\in R\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x=-\dfrac{17}{2}\)

*Ta có: \(E=2x^2-7x+8=2\left(x^2-\dfrac{7}{2}x+4\right)=2\left(x^2-2.\dfrac{7}{4}+\dfrac{49}{16}+\dfrac{15}{16}\right)\)

\(=2\left(x^2-2.\dfrac{7}{4}+\dfrac{49}{16}\right)+\dfrac{15}{8}=2\left(x-\dfrac{7}{4}\right)^2+\dfrac{15}{8}\ge\dfrac{15}{8}\forall x\in R\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x=\dfrac{7}{4}\)

*Ta có: \(F=3x^2+5x+6=3\left(x^2+\dfrac{5}{3}x+2\right)=3\left(x^2+2.\dfrac{5}{6}x+\dfrac{25}{36}+\dfrac{47}{36}\right)\)

\(=3\left(x+\dfrac{5}{6}\right)^2+\dfrac{47}{12}\ge\dfrac{47}{12}\forall x\in R\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(x=-\dfrac{5}{6}\)

*Ta có: \(K=3x^2+y^2+2xy=12x+2040\) (Bạn xem lại đề có phải đánh sai ở chỗ dấu ''='' không nhé, chỗ đấy nếu là dấu cộng hay dấu trừ thì cũng làm theo cách này nha, thay mỗi dấu đi thôi á) 

\(=2\left(x^2+6x+9\right)+\left(x^2+2xy+y^2\right)+2022\)

\(=2\left(x+3\right)^2+\left(x+y\right)^2+2022\ge2022\forall x\in R\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+3=0\\x+y=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=3\end{matrix}\right.\)

*Ta có: \(L=4x^2+3y^2-4xy+20y+2072=\left(4x^2-4xy+y^2\right)+2\left(y^2+10y+25\right)+2022\)\(=\left(2x-y\right)^2+2\left(y+5\right)^2+2022\ge2022\forall x\in R\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=0\\y+5=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=y\\y=-5\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{5}{2}\\y=-5\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(m^2+n^2=9m+13n-20\Leftrightarrow4m^2+4n^2=36m+52n-80\)

\(\Leftrightarrow\left(4m^2+36m+81\right)+\left(4n^2+52n+169\right)-170=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+9\right)^2+\left(2n+13\right)^2=170\)

Vì \(\left(2n+13\right)^2\ge0\forall n\in z\)

\(\Rightarrow\left(2m+9\right)^2\le170\)

\(\Rightarrow\left(2m+9\right)^2=\left\{0;1;4;9;16;25;36;49;64;81;100;121;144;169\right\}\)

..... (Thay vào tìm m rồi tiếp tục tìm n. m, n là các số nguyên nên chú ý loại bớt trường hợp)

Ai làm đc em tick ạ !!