\(\frac{\left(a-b\right)\left(c-d\right)}{\left(b^2-a^2\right)\left(d^2-c^2\right)}=\frac{\left(b-a\right)\left(d-c\right)}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)\left(d-c\right)\left(d+c\right)}=\frac{1}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\)

\(\frac{m^4-m}{2m^2+2m+2}=\frac{m\left(m^3-1\right)}{2m^2+2m+2}=\frac{m\left(m-1\right)\left(m^2+m+1\right)}{2\left(m^2+m+1\right)}=\frac{m\left(m-1\right)}{2}\)

- Nếu y là số chẵn thì 5y² có chữ số tận cùng là 0

Dẫn đến x² có chữ số tận cùng là 7 (loại vì ko số chính phương nào tận cùng là 7)

- Nếu y là số lẻ thì 5y² có chữ số tận cùng là 5

Dẫn đến x² có chữ số tận cùng là 2 (loại)

Vậy \(x,y\in\varnothing\)

\(9x+2=y^2+y\Rightarrow9x+2=y\left(y+1\right)\)

\(\Rightarrow9x+2⋮2\Rightarrow9x⋮2\Rightarrow x⋮2\)

Vậy x chia hết cho 2 (cứ thay 1 số x chia hết cho 2 thì tìm được 1 số y) 

Vậy có vô số x,y thỏa mãn đề.

Gọi tuổi mẹ là a => Tuổi Lan là : 40 - a 

Theo bài ta có :

    a ² - ( 40 - a ) ² = 800

=> a ² - 1600 + 80a - a ² = 800

=> 80a = 2400

=> a = 30

Vậy tuổi mẹ là ; 30 tuổi 

       tuổi Lan là : 40 - 30 = 10 tuổi

\(x+y+z=0\Rightarrow x+y=-z\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=\left(-z\right)^2\Rightarrow x^2+2xy+y^2=z^2\Rightarrow x^2+y^2-z^2=-2xy\)

Tương tự: \(y^2+z^2-x^2=-2yz,x^2+z^2-y^2=-2xz\)

\(\frac{1}{y^2+z^2-x^2}+\frac{1}{x^2+y^2-z^2}+\frac{1}{x^2+z^2-y^2}\)

\(=\frac{1}{-2yz}+\frac{1}{-2xy}+\frac{1}{-2xz}=\frac{x+y+z}{-2xyz}=0\)

\(P=\frac{3x^2-4x}{\left(x-1\right)^2}=\frac{4x^2-8x+4-\left(x^2-4x+4\right)}{\left(x-1\right)^2}=\frac{4\left(x-1\right)^2-\left(x-2\right)^2}{\left(x-1\right)^2}=4-\frac{\left(x-2\right)^2}{\left(x-1\right)^2}\le4\forall x\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(x-2=0\Leftrightarrow x=2\)

Vậy GTLN của P là 4 khi \(x=2\)

\(\frac{3x^2-4x}{\left(x-1\right)^2}=4-\frac{\left(x-2\right)^2}{\left(x-1\right)^2}\le4\forall x\)

Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi :x-2=0 <=> x=2

Vậy Max P=4 khi x=2

\(x^4-x^3+2x^2-x+1=0\)

\(\Rightarrow\left(x^4-x^3+x^2\right)+\left(x^2-x+1\right)=0\)

\(\Rightarrow x^2\left(x^2-x+1\right)+\left(x^2-x+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2+1\right)\left(x^2-x+1\right)=0\)

Mà \(\hept{\begin{cases}x^2+1>0\forall x\\x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\forall x\end{cases}\Rightarrow\left(x^2+1\right)\left(x^2-x+1\right)>0\forall x}\)

Vậy ko tồn tại x thỏa mãn \(x^4-x^3+2x^2-x+1=0\)

\(x^4-x^3+2x^2-x+1=x^4-x^3+x^2+x^2-x+1\)

\(=x^2.\left(x^2-x+1\right)+\left(x^2-x+1\right)\)

\(=\left(x^2+1\right).\left(x^2-x+1\right)\)

vì (x²+1) \(\ge1\)

và \(x^2\ge x\Rightarrow x^2-x+1\ge1\)

=> \(\left(x^2+1\right).\left(x^2-x+1\right)\ge1\Rightarrowđpcm\)