Lấy B' đối xứng với B qua AK  ( K thỏa mãn \(BK\perp AB\); \(AK\perp BK\))

CM được : \(\hept{\begin{cases}BB'=2BK=2AH=2h_a\\AB=AB'\end{cases}}\)

Ta có : \(BB'^2=CB'^2-BC^2\le\left(AB'+AC\right)^2-BC^2=\left(AB+AC\right)^2-BC^2\)

\(\Rightarrow\left(2h_a\right)^2=4h_a^2\le\left(b+c\right)^2-a^2\)

Tương tự , ta có : \(4h_b^2\le\left(a+c\right)^2-b^2\)        và        \(4h_c^2\le\left(a+b\right)^2-c^2\)

Suy ra : \(4\left(h_a^2+h_b^2+h_c^2\right)\le\left(a+b\right)^2+\left(b+c\right)^2+\left(a+c\right)^2-a^2-b^2-c^2\)

\(\Rightarrow4\left(h_a^2+h_b^2+h_c^2\right)\le a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{h_a^2+h_b^2+h_c^2}\ge4\)Hay \(P\ge4\)

" = " khi  \(B',A,C\) thẳng hàng \(\Rightarrow A\)là trung điểm của \(B'C\)\(\Rightarrow AH\)là trung tuyến \(\Delta ABC\Rightarrow\Delta ABC\)cân tại \(A\)

               Tương tự , \(\Delta ABC\)  lần lượt cân tại \(B,C\)

                Suy ra : \(\Delta ABC\)  đều 

Vậy \(MIN_P=4\)đạt được khi \(\Delta ABC\)đều

Gọi bán kính đường tròn là R.

Kẻ đường kính CO cắt đường tròn (O) tại J. Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ O đến BC. Theo tính chất đường kính dây cung : I là trung điểm BC.

Do độ lớn BC không đổi nên OI cũng không đổi. Ta tính được \(OI=\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}\)

Do JC là đường kính nên \(\widehat{JAC}=\widehat{JBC}=90^o\)

Suy ra JA // BH; JB // AH.

Vậy tứ giác JAHB là hình bình hành. Ta có AH = JB.

Xét tam giác JBC có O là trung điểm JC, I là trung điểm BC nên OI là đường trung bình.

Vậy thì JB = 2OI.

Từ đó suy ra AH = 2 OI = \(2\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}\)  (const)

Vậy thì \(AH.AK=2\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}.AK\)

AK lớn nhất khi A là điểm chính giữa cung BC.

Khi đó \(AK\equiv AI=3OI=3\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}\)

Vậy thì maxAH.AK \(=2\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}.3\sqrt{R^2-\frac{a^2}{4}}=6\left(R^2-\frac{a^2}{4}\right)\)  

e chưa hok nha hihi

Bất đẳng thức Karamata là một bất đẳng thức được đặt tên theo nhà toán học Jovan Karamata Cho tập I là một khoảng trên trục số thực và f là lồi trên tập

Ta có:n+3=n-1+4

Để n+3 chia hết cho n-1 thì 4 chia hết cho n-1

\(\Rightarrow n-1\inƯ\left(4\right)=\left\{-4,-2,-1,1,2,4\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{-3,-1,0,2,3,5\right\}\)Vì n là số tự nhiên nên \(n\in\left\{0,2,3,5\right\}\) thỏa mãn

Câu b tương tự

giup mình

dk bn tự tìm nhé 

chia cả 2 vế cho x khác 0 

\(x+2\sqrt{x-\frac{2}{x}}=3\)\(+\frac{2}{x}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\frac{2}{x}\right)+2\sqrt{x-\frac{2}{x}}-3=0\)

dặt \(a=\sqrt{x-\frac{2}{x}}\ge0\)

\(\Rightarrow t^2+2t-3=0\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t+3\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=1\left(tm\right)\\t=-3\left(loại\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x-\frac{2}{x}}=1\)đen đây bn giải tieps nhé