Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được 

\(\frac{a^3}{a+2b}+\frac{b^3}{b+2c}+\frac{c^3}{c+2a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Ta lại có  \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)

Do đó ta được \(\frac{a^3}{a+2b}+\frac{b^3}{b+2c}+\frac{c^3}{c+2a}\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

p/s: check

\(\frac{11}{13}-\left(\frac{5}{42}-x\right)=-\left(\frac{15}{28}-\frac{11}{13}\right)\)

\(\frac{11}{13}-\frac{5}{42}+x=-\frac{15}{28}+\frac{11}{13}\)

\(\frac{-5}{42}+x=-\frac{15}{28}+\left(\frac{11}{13}-\frac{11}{13}\right)\)

\(\frac{-5}{42}+x=-\frac{15}{28}\)

\(x=-\frac{15}{28}+\frac{5}{42}\)

\(x=-\frac{45}{84}+\frac{10}{84}\)

\(x=-\frac{35}{84}\)

Vậy \(x=-\frac{35}{84}\).

\(\frac{11}{13}-\left(\frac{5}{42}-x\right)=\frac{113}{364}\)

\(\left(\frac{5}{42}-x\right)=\frac{11}{13}-\frac{113}{364}\)

\(\left(\frac{5}{42}-x\right)=\frac{15}{28}\)

\(x=\frac{5}{42}-\frac{15}{28}\)

\(x=-\frac{5}{12}\)

vậy \(x=-\frac{5}{12}\)

Đọc đoạn văn sau và trả lời câu hỏi dưới đây:

 “Bởi tôi ăn uống điều độ, và làm việc có chừng mực nên tôi chóng lớn lắm. Chẳng bao lâu, tôi đã trở thành một chàng dế thanh niên cường tráng. Ðôi càng tôi mẫm bóng. Những cái vuốt ở chân, ở khoeo cứ cứng dần và nhọn hoắt. Thỉnh thoảng, muốn thử sự lợi hại của những chiếc vuốt, tôi co cẳng lên, đạp phanh phách vào các ngọn cỏ. Những ngọn cỏ gẫy rạp y như có nhát dao vừa lia qua. Ðôi cánh tôi, trước kia ngắn hủn hoẳn, bây giờ thành cái áo dài kín xuống tận chấm đuôi. Mỗi khi tôi vũ lên, đã nghe thấy tiếng phành phạch giòn giã”. 

                                                                                                                (Dế Mèn phiêu lưu kí – Tô Hoài)

Câu 1: (1điểm) Phương thức biểu đạt chủ yếu của đoạn văn trên là : Miêu tả . Nội dung chính của đoạn văn là : Miêu tả vẻ đẹp cường tráng , mạnh mẽ của Dế Mèn .

Câu 2: (1điểm) Xác định một biện pháp nghệ thuật được tác giả sử dụng tạo nên cái hay của đoạn văn?

BPNT : So sánh : nó làm tăng sức gợi hình , gợi cảm cho sự diễn đạt .

Câu 3: (1điểm) Xác định các thành phần chính của câu

Những cái vuốt ở chân, ở kheo / cứ cứng dần và nhọn hoắt.

CN                                               VN

Câu 4 : Tìm 5 từ láy có trong đoạn văn trên:

phanh phách , hủn hoẳn , phành phạch , giòn giã ,thỉnh thoảng .

Câu 1

Phương thức biểu đạt chính của đoạn văn trên là miêu tả.

Nội dung chính của đoạn văn trên là miểu tả vẻ ngoài cường tráng và oai vệ của Dế Mèn

Câu 2

Nghệ thuật so sánh có tác dụng cho thấy sự sắc bén của những chiếc vuốt của Dé Mèn

Còn lại mình hong biết

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với\(\Sigma_{cyc}\left(\sqrt{5a^2+4bc}-2\sqrt{bc}\right)\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Hay \(\Sigma_{cyc}\frac{5a^2}{\sqrt{5a^2+4bc}+2\sqrt{bc}}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}\left(\Sigma_{cyc}\frac{5a^2}{\sqrt{5a^2+4bc}+2\sqrt{bc}}\right)\ge1\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có \(2\sqrt{5a^2+4bc}\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\le8a^2+3b^2+3c^2+4bc\)\(4\sqrt{bc}\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{4.3\sqrt{bc}.\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}{3}\)\(\le\frac{2\left(3a^2+3b^2+3c^2+9bc\right)}{3}=2\left(a^2+b^2+c^2+3bc\right)\)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được \(2\left(\sqrt{5a^2+4bc}+2\sqrt{bc}\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)\(\le10a^2+5b^2+5c^2+10bc\)

Suy ra \(\frac{10a^2}{2\left(\sqrt{5a^2+4bc}+2\sqrt{bc}\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}\)\(\ge\frac{10a^2}{10a^2+5b^2+5c^2+10bc}\)

Lại có \(10bc\le5b^2+5c^2\)nên \(\frac{10a^2}{10a^2+5b^2+5c^2+10bc}\ge\frac{10a^2}{10a^2+10b^2+10c^2}=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)

Do đó ta được \(\frac{5a^2}{\left(\sqrt{5a^2+4bc}+2\sqrt{bc}\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}\ge\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}\)(1)

Hoàn toàn tương tự, ta được: \(\frac{5b^2}{\left(\sqrt{5b^2+4ca}+2\sqrt{ca}\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}\ge\frac{b^2}{a^2+b^2+c^2}\)(2) ; \(\frac{5c^2}{\left(\sqrt{5c^2+4ab}+2\sqrt{ab}\right)\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}\ge\frac{c^2}{a^2+b^2+c^2}\)(3)

Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(\frac{1}{\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}}\left(\Sigma_{cyc}\frac{5a^2}{\sqrt{5a^2+4bc}+2\sqrt{bc}}\right)\ge\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}=1\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c 

0,36.4,25=0,9.1,7

0,36/0,9=1,7/4,25

0,36/1,7=0,9/4,25

4,25/0,9=1,7/0,36

4,25/1,7=0,9/0,36

\(=\frac{3}{5}.\left[\left(\frac{3}{7}\right).\left(\frac{21}{9}\right)\right]^5+\left[\left(\frac{4}{9}\right):\left(\frac{12}{27}\right)\right]^6\)

\(=\frac{3}{5}.1+1\)

\(=\frac{8}{5}\)